Monte-Carlo appliqué aux calculs de dosimétrie et de radioprotection 449
En appliquant le théorème central-limite, on peut ainsi associer à la valeur
moyenne estimée v
X de la grandeur dosimétrique Gd un intervalle de confiance C(e) :
( )
{
}
d
v
d
probabilité
C e
G e X
G e
=
− ≤
≤
+
(6.78)
Ce qui, avec la fonction de répartition de la loi normale (
)
v
2
v ,
X
N X σ
revient
à écrire :
( )
(
)
d
d
v
v
2
d
2
1
exp
d
2
2
G e
G e
X
X
x G
C e
x
+
−
§
·
−
¨
¸
=
−
¨
¸
σ
¨
¸
σ
π
©
¹
³
(6.79)
Ainsi, « classiquement », pour
v
X
e = σ on obtient C(e) = 0,689, ce qui signifie que l’estimation v
X de Gd est fiable à 68,9 % ; pour
v
2 X
e = σ on obtient
C(e) = 0,954, soit une fiabilité de 95,4 % ; enfin, pour
v
3 X
e = σ on obtient une
fiabilité de 99,7 %. En pratique, l’écart type de la moyenne vraie v
X est estimée par v
X
S de la façon suivante :
( ) (
)
v
v
2
2
2
v
1
1
1
i n
X
i
X
i
S
X X
n
n n
=
=
σ
=
=
−
−
¦
(6.80)
Ce terme caractérise « l’erreur statistique » sur la moyenne vraie ; ainsi,
l’erreur relative Er à 1 σ associée au résultat d’un calcul normalisé est définie
par :
( )
v
v
v
X
S
Er X
X
=
(6.81)
En conséquence, pour le résultat final de la grandeur dosimétrique recherchée, on annoncera :
( )
d
v
v
G
X
Er X
=
±
(6.82)
Typiquement, la valeur de Er doit toujours être au moins inférieure à 10 %
(plus précisément à chaque estimateur correspond un critère d’acceptabilité).
Tout l’enjeu et la difficulté vont donc consister à réduire au maximum l’erreur
relative associée au résultat de l’estimateur. Pour illustrer la difficulté
d’obtenir une bonne précision statistique, a fortiori en accord avec le critère
d’acceptabilité de l’erreur relative, considérons un problème faisant intervenir
une protection biologique épaisse [30]. Dans ce problème, on considère
l’estimateur X de la grandeur « transmission ». Cet estimateur « score » la
valeur de 1 quand la particule transportée passe outre la protection et 0 quand
celle-ci est absorbée.
Dans ce cas, nous avons spontanément :
2
v
v
X
X
=
.
Quand n tend vers l’infini, nous faisons l’approximation n ≈ N. Une autre
façon d’exprimer l’erreur statistique similaire à l’expression (6.80) est :
En appliquant le théorème central-limite, on peut ainsi associer à la valeur
moyenne estimée v
X de la grandeur dosimétrique Gd un intervalle de confiance C(e) :
( )
{
}
d
v
d
probabilité
C e
G e X
G e
=
− ≤
≤
+
(6.78)
Ce qui, avec la fonction de répartition de la loi normale (
)
v
2
v ,
X
N X σ
revient
à écrire :
( )
(
)
d
d
v
v
2
d
2
1
exp
d
2
2
G e
G e
X
X
x G
C e
x
+
−
§
·
−
¨
¸
=
−
¨
¸
σ
¨
¸
σ
π
©
¹
³
(6.79)
Ainsi, « classiquement », pour
v
X
e = σ on obtient C(e) = 0,689, ce qui signifie que l’estimation v
X de Gd est fiable à 68,9 % ; pour
v
2 X
e = σ on obtient
C(e) = 0,954, soit une fiabilité de 95,4 % ; enfin, pour
v
3 X
e = σ on obtient une
fiabilité de 99,7 %. En pratique, l’écart type de la moyenne vraie v
X est estimée par v
X
S de la façon suivante :
( ) (
)
v
v
2
2
2
v
1
1
1
i n
X
i
X
i
S
X X
n
n n
=
=
σ
=
=
−
−
¦
(6.80)
Ce terme caractérise « l’erreur statistique » sur la moyenne vraie ; ainsi,
l’erreur relative Er à 1 σ associée au résultat d’un calcul normalisé est définie
par :
( )
v
v
v
X
S
Er X
X
=
(6.81)
En conséquence, pour le résultat final de la grandeur dosimétrique recherchée, on annoncera :
( )
d
v
v
G
X
Er X
=
±
(6.82)
Typiquement, la valeur de Er doit toujours être au moins inférieure à 10 %
(plus précisément à chaque estimateur correspond un critère d’acceptabilité).
Tout l’enjeu et la difficulté vont donc consister à réduire au maximum l’erreur
relative associée au résultat de l’estimateur. Pour illustrer la difficulté
d’obtenir une bonne précision statistique, a fortiori en accord avec le critère
d’acceptabilité de l’erreur relative, considérons un problème faisant intervenir
une protection biologique épaisse [30]. Dans ce problème, on considère
l’estimateur X de la grandeur « transmission ». Cet estimateur « score » la
valeur de 1 quand la particule transportée passe outre la protection et 0 quand
celle-ci est absorbée.
Dans ce cas, nous avons spontanément :
2
v
v
X
X
=
.
Quand n tend vers l’infini, nous faisons l’approximation n ≈ N. Une autre
façon d’exprimer l’erreur statistique similaire à l’expression (6.80) est :