Monte-Carlo appliqué aux calculs de dosimétrie et de radioprotection 433
L’estimateur devient ainsi :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
p
p
p
p
p
p
2
p
d exp
cos
, d
cos
, d
1
exp
cos
, d
t
t
W
p
R
n a
n a
Wp
R
R
n a
Φ = Ω
Ω
Σ
Ω
Ω
=
Ω
−Σ
Ω
r r
r r
r r
( )
( )
p
p
2
exp
t
p
W
R
R
Ω
Φ =
−Σ
On a p(Ωp) = p(ϕ)p(θ). De plus, dans le cas d’une symétrie de révolution
p(ϕ) = 1/2π, alors, l’expression finale de l’estimateur de la fluence en un point
est donnée par (6.56).
( )
( )
p
2
exp
2
t
p
W
R
R
θ
Φ =
−Σ
π
(6.56)
Appliquons cette expression à une source ponctuelle isotrope. Nous savons
dans ce cas que la probabilité p(θ) d’avoir une particule source émise avec un
angle θ :
( )
1
0
1
sin d
2
p
−
π
§
·
θ =
θ θ
=
¨
¸
¨
¸
©
¹
³
(6.57)
Par conséquent, l’expression de l’estimateur pour une source ponctuelle isotrope devient :
( )
p
2
1 exp
4
t
W
R
R
Φ =
−Σ
π
(6.58)
Le terme à droite du poids W est commun au calcul de la fluence de photons ou de neutrons sous une épaisseur R (cf. chapitre1). Cette expression est
typique des calculs déterministes de type « atténuation en ligne droite », décrits dans le chapitre 5.
Notons que cet estimateur présente une singularité en raison de son terme
en R2 au dénominateur. En conséquence, si une particule issue d’une collision
ou de la source est générée dans le pourtour proche de point-détecteur, alors R
tend vers 0 et la fluence vers l’infini. Ceci a pour effet de ralentir significativement la convergence statistique de l’estimateur, voire de la rendre impossible.
Une solution consiste à définir une sphère « d’exclusion » de rayon R0 et centrée sur le point-détecteur comme montré à la figure 6.19.
L’estimateur est alors calculé au moyen de la somme de deux termes : en
premier lieu, on calcule le terme de fluence Φp(R > R0) tenant compte de la
probabilité qu’une particule émise en S en dehors de la sphère arrive jusqu’à la
sphère en un point E :
(
)
( )
(
)
(
)
p
0
2
S
E
exp
2
t
p
W
R R
R
θ
Φ
→
=
Σ
−
π
(6.59)
L’estimateur devient ainsi :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
p
p
p
p
p
p
2
p
d exp
cos
, d
cos
, d
1
exp
cos
, d
t
t
W
p
R
n a
n a
Wp
R
R
n a
Φ = Ω
Ω
Σ
Ω
Ω
=
Ω
−Σ
Ω
r r
r r
r r
( )
( )
p
p
2
exp
t
p
W
R
R
Ω
Φ =
−Σ
On a p(Ωp) = p(ϕ)p(θ). De plus, dans le cas d’une symétrie de révolution
p(ϕ) = 1/2π, alors, l’expression finale de l’estimateur de la fluence en un point
est donnée par (6.56).
( )
( )
p
2
exp
2
t
p
W
R
R
θ
Φ =
−Σ
π
(6.56)
Appliquons cette expression à une source ponctuelle isotrope. Nous savons
dans ce cas que la probabilité p(θ) d’avoir une particule source émise avec un
angle θ :
( )
1
0
1
sin d
2
p
−
π
§
·
θ =
θ θ
=
¨
¸
¨
¸
©
¹
³
(6.57)
Par conséquent, l’expression de l’estimateur pour une source ponctuelle isotrope devient :
( )
p
2
1 exp
4
t
W
R
R
Φ =
−Σ
π
(6.58)
Le terme à droite du poids W est commun au calcul de la fluence de photons ou de neutrons sous une épaisseur R (cf. chapitre1). Cette expression est
typique des calculs déterministes de type « atténuation en ligne droite », décrits dans le chapitre 5.
Notons que cet estimateur présente une singularité en raison de son terme
en R2 au dénominateur. En conséquence, si une particule issue d’une collision
ou de la source est générée dans le pourtour proche de point-détecteur, alors R
tend vers 0 et la fluence vers l’infini. Ceci a pour effet de ralentir significativement la convergence statistique de l’estimateur, voire de la rendre impossible.
Une solution consiste à définir une sphère « d’exclusion » de rayon R0 et centrée sur le point-détecteur comme montré à la figure 6.19.
L’estimateur est alors calculé au moyen de la somme de deux termes : en
premier lieu, on calcule le terme de fluence Φp(R > R0) tenant compte de la
probabilité qu’une particule émise en S en dehors de la sphère arrive jusqu’à la
sphère en un point E :
(
)
( )
(
)
(
)
p
0
2
S
E
exp
2
t
p
W
R R
R
θ
Φ
→
=
Σ
−
π
(6.59)