Monte-Carlo appliqué aux calculs de dosimétrie et de radioprotection 421
6.10.2 Production des photons de freinage et détermination
de l’énergie totale « effective » perdue lors de l’étape
Comme nous l’avons évoqué précédemment, le calcul du nombre N de photons de freinage et leur énergie d’émission peut être déterminé de façon analogique lors des sous-étapes. Une façon de procéder à cette détermination est la
suivante : si σf est la section efficace microscopique totale d’émission d’un photon de freinage pour un électron d’énergie T, pour un milieu de densité atomique ρa, le nombre moyen de photons de freinage émis sur le segment de
trajectoire s est donné par (6.41).
f
a
N
s
= σ ρ
(6.41)
On considère que le nombre « effectif » de photons de freinage émis lors de
la traversée de s répond à une loi de Poisson, ce qui en toute logique peut être
admis, puisque rappelons que cette loi est caractérisée par une loi discrète des
éventualités rares, indépendantes les unes des autres et dont la probabilité de
réalisation sur un laps de temps court ou en l’espèce, une distance courte δx lui
est proportionnelle. Cette loi de Poisson est définie par la moyenne
d’occurrence d’émission de photons de freinage N de l’expression (6.41). La
probabilité qui en résulte d’avoir N photons de freinage émis est donnée par
l’expression classique de Poisson :
( )
( )
( )
exp
!
N
N
N
p N
N
−
=
La probabilité cumulée d’avoir un nombre de photons inférieurs à N
s’obtient alors à partir de la probabilité cumulée suivante :
( )
( ) ( )
0
exp
!
n
n N
n
N
N
P N
n
=
=
−
= ¦
Après tirage d’un nombre aléatoire ξ, on détermine le nombre N de photons émis au moyen de l’inégalité suivante : (
1)
( )
P N
P N
− ≤ ξ <
. Pour chacun de ces N photons de freinage, il y a ensuite lieu de déterminer l’énergie
d’émission. On rappellera que la section efficace différentielle d’obtenir un
photon de freinage d’énergie comprise entre E γ et E γ + dE γ pour un électron
incident d’énergie est grossièrement de la forme :
( )
f
d
d
T
k T
E
E
γ
γ
§
·
σ
=
¨
¸
©
¹
La probabilité que le photon de freinage soit émis avec une énergie E γ et la
densité de probabilité cumulée associée sont alors données par :
( )
( )
( )
( )
( )
min
f
f
f
m i n
d
1
ln
E
E
k T
k T
k T
E
E
p E
P E
E
E
E
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
§
·
§
·
¨
¸
=
⇔
=
=
¨
¸
¨
¸
σ
σ
σ
©
¹
©
¹
³
L’énergie du i-ième photon émis est donc obtenue par
1
( )
( ),
i
E i
P
−
γ
=
ξ soit :
6.10.2 Production des photons de freinage et détermination
de l’énergie totale « effective » perdue lors de l’étape
Comme nous l’avons évoqué précédemment, le calcul du nombre N de photons de freinage et leur énergie d’émission peut être déterminé de façon analogique lors des sous-étapes. Une façon de procéder à cette détermination est la
suivante : si σf est la section efficace microscopique totale d’émission d’un photon de freinage pour un électron d’énergie T, pour un milieu de densité atomique ρa, le nombre moyen de photons de freinage émis sur le segment de
trajectoire s est donné par (6.41).
f
a
N
s
= σ ρ
(6.41)
On considère que le nombre « effectif » de photons de freinage émis lors de
la traversée de s répond à une loi de Poisson, ce qui en toute logique peut être
admis, puisque rappelons que cette loi est caractérisée par une loi discrète des
éventualités rares, indépendantes les unes des autres et dont la probabilité de
réalisation sur un laps de temps court ou en l’espèce, une distance courte δx lui
est proportionnelle. Cette loi de Poisson est définie par la moyenne
d’occurrence d’émission de photons de freinage N de l’expression (6.41). La
probabilité qui en résulte d’avoir N photons de freinage émis est donnée par
l’expression classique de Poisson :
( )
( )
( )
exp
!
N
N
N
p N
N
−
=
La probabilité cumulée d’avoir un nombre de photons inférieurs à N
s’obtient alors à partir de la probabilité cumulée suivante :
( )
( ) ( )
0
exp
!
n
n N
n
N
N
P N
n
=
=
−
= ¦
Après tirage d’un nombre aléatoire ξ, on détermine le nombre N de photons émis au moyen de l’inégalité suivante : (
1)
( )
P N
P N
− ≤ ξ <
. Pour chacun de ces N photons de freinage, il y a ensuite lieu de déterminer l’énergie
d’émission. On rappellera que la section efficace différentielle d’obtenir un
photon de freinage d’énergie comprise entre E γ et E γ + dE γ pour un électron
incident d’énergie est grossièrement de la forme :
( )
f
d
d
T
k T
E
E
γ
γ
§
·
σ
=
¨
¸
©
¹
La probabilité que le photon de freinage soit émis avec une énergie E γ et la
densité de probabilité cumulée associée sont alors données par :
( )
( )
( )
( )
( )
min
f
f
f
m i n
d
1
ln
E
E
k T
k T
k T
E
E
p E
P E
E
E
E
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
§
·
§
·
¨
¸
=
⇔
=
=
¨
¸
¨
¸
σ
σ
σ
©
¹
©
¹
³
L’énergie du i-ième photon émis est donc obtenue par
1
( )
( ),
i
E i
P
−
γ
=
ξ soit :