Monte-Carlo appliqué aux calculs de dosimétrie et de radioprotection 399
très proche de celui de p(x). Cette fonction g(x) doit être globalement majorante et intégrable sur les mêmes bornes que P(x) pour donner une fonction
que nous appellerons G(x). La méthode de réjection est alors effectuée sur la
fonction composée h(x) issue du rapport de p(x) sur sa fonction majorante
g(x) :
( )
( )
( )
p x
h x
g x
=
Cette fois, la valeur limite de test est définie par le maximum de cette fonction h(x) : hmax sur l’intervalle [a b]. Les étapes du test sont les suivantes : on
tire un premier nombre aléatoire ξ1 et on détermine une valeur aléatoire de x,
1
1
( )
t
x G
−
=
ξ ; on tire un second nombre aléatoire ξ2 et le test suivant est effectué :
– si 2 max
( ),
t
h
h x
ξ
>
alors la valeur de xt est rejetée ;
– si 2 max
( ),
t
h
h x
ξ
≤
alors la valeur de xt est acceptée.
La figure 6.6, donne une représentation d’une densité de probabilité p(x),
approchée par une fonction g(x), le ratio h(x) = p(x)/g(x) et les densités de
probabilité cumulées P(x) et G(x). La valeur de hmax est une limite finie de
h(x), en pratique elle dépasse légèrement la valeur maximale de p(x).
Figure 6.6 – Représentation d’une densité de probabilité p(x), approchée par une
fonction g(x), le ratio h(x) = p(x)/g(x) et les densités de probabilité cumulées P(x) et
G(x). La valeur de hmax est une limite finie de h(x), en pratique elle dépasse légèrement la valeur maximale de p(x), adapté de [35].
À titre d’exemple, si nous revenons à l’expression de Watt, l’énergie du
neutron de fission émise peut être échantillonnée via une méthode de réjection
développée par Kalos [20] de la façon suivante. Un jeu de paramètres L, M et
N est défini une seule fois comme suit :
( )
1 2
2
1
1
,
,
1
8
L L
b
L
M
N a M
a
a
ª
º
+
−
«
»
§ ·
¬
¼
= +
=
=
−
¨ ¸
© ¹
p(x)
P(x)