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Physique appliquée à l’exposition externe : dosimétrie et radioprotection
Pour décrire cette méthode, considérons la distribution de probabilité p(x),
décrivant un demi-cercle sur un intervalle [a b] comme montrée à la figure 6.5.
M
2
ξ
a
x t
M
y
p(x)
b
x
Figure 6.5 – Méthode de la réjection – cas d’une distribution de probabilité circulaire
sur un intervalle [a b].
On tire un premier nombre aléatoire ξ1 qui détermine une valeur aléatoire
de x sur l’intervalle [a b] selon l’expression (6.14).
( )
1
t
x
a
b a
= + ξ
−
(6.14)
On tire un second nombre aléatoire ξ2 et le test suivant est effectué :
– si 2
( )
t
M p x
ξ
>
, alors la valeur de xt est rejetée ;
– si 2
( )
t
M p x
ξ
≤
, alors la valeur de xt est acceptée.
En effectuant cette opération un grand nombre de fois, on finit par obtenir
la probabilité « d’acceptation de xt » qui n’est autre que le rapport du nombre
de cas « acceptés » sur le nombre de cas testés ; autrement dit, dans notre
exemple, cela revient au rapport du demi-disque résultant de l’intégration du
demi-cercle sur [a b], divisé par la surface délimitée par le rectangle de dimension
( )
M b a
− . Dans notre cas, ce rapport vaut π/4, d’où :
( )
( )
1
d
4
b
a
p x x
M b a
π
=
−
³
Notons que cette méthode peut être utilisée pour calculer la valeur de π.
D’une façon plus générale, pour un intervalle compris entre a et x et une probabilité « d’acceptation » Pa nous aurions :
( )
( )
( )
( )
a
1
d
x
a
P x
p x x
P
M x a
M x a
=
=
−
−
³
Ainsi, en tirant un nouveau nombre aléatoire ξ de sorte que ( )
P x = ξ , on
obtient finalement la valeur aléatoire de x :
( )
a
a
P M x a
x
a
P M
§
·
ξ
ξ =
− ⇔ =
+
¨
¸
©
¹
En pratique, pour une meilleure efficacité, on est amené non pas à borner
par une valeur unique M, mais par une fonction g(x) dont le comportement est