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Physique appliquée à l’exposition externe : dosimétrie et radioprotection
Lorsque a et b sont proches de 1, pour des énergies supérieures à 1 MeV, le
terme –aEn domine ; on peut ainsi simplifier l’expression initiale de la façon
suivante :
( )
( )
2
exp
n
n
p E
k
aE
′
≈
−
avec k' une constante. Effectivement, pour s’en convaincre, il suffit de regarder
la courbe représentative du spectre de Watt à la figure 6.3 : pour des énergies
comprises entre 0 à environ 1 MeV, l’énergie évolue sensiblement en racine
carrée de l’énergie, soit l’approximation p1(En), au-delà de 1 MeV celle-ci évolue comme une exponentielle décroissante, soit l’approximation p2(En).
Ces deux expressions sont facilement intégrables et les fonctions inverses
accessibles. La densité de probabilité cumulée est donc une somme de deux
densités de probabilités cumulées « partielles » valables chacune sur un intervalle précis. La densité de probabilité cumulée sur un intervalle [0, Ec], où Ec
est une énergie limite à partir de laquelle on passe d’une expression à l’autre
(de l’ordre de 1 MeV), s’obtient alors de la façon suivante :
( )
( )
1 2
1
0
2
d
3
n
E
n
n
n
n
n
k
P E
k E
E
E E
=
=
³
La densité de probabilité cumulée sur l’intervalle [Ec, Emax] est :
( )
( )
( )
2
exp
exp
d
n
c
E
n
n
n
n
E
k
k
aE
P E
k
aE
E
a
ª
º
′′
′
−
−
¬
¼
′
=
−
=
³
L’échantillonnage avec nombre aléatoire peut donc ensuite être réalisé de
façon triviale, en sachant que : P1(Ec) + P2(Emax) = 1 :
Si
( )
( )
1
1
1
c
n
P E
E
P
−
ξ <
=
ξ
Si
( )
( )
(
)
1
1
2
1
c
n
c
c
P E
E
E P
P E
−
ξ >
=
+
ξ−
Pour illustrer encore cette technique, voici une autre approximation classique : celle d’une densité de probabilité décrivant une loi normale. Là encore,
pas de solution analytique pour l’intégrale de la densité de probabilité. Khan
[23] propose d’approximer cette fonction par une autre fonction ayant des
propriétés équivalentes. Considérons pour cette approche une loi normale centrée réduite :
( )
2
1 exp
2
2
x
p x
§
·
=
−
¨
¸
¨
¸
π
©
¹
Cette dernière peut être approximée par la fonction ci-dessous :
( )
( )
( )
(
)
2
exp
*
;
;
0
1 exp
B
Bx
p x
x
B
Bx
−
=
− ∞ ≤ ≤ ∞
>
+
−
On montrerait que cette fonction p*(x), comme la loi centrée réduite, possède une moyenne nulle et une variance de 1 dès lors que
/ 3
B = π
. Il est
Physique appliquée à l’exposition externe : dosimétrie et radioprotection
Lorsque a et b sont proches de 1, pour des énergies supérieures à 1 MeV, le
terme –aEn domine ; on peut ainsi simplifier l’expression initiale de la façon
suivante :
( )
( )
2
exp
n
n
p E
k
aE
′
≈
−
avec k' une constante. Effectivement, pour s’en convaincre, il suffit de regarder
la courbe représentative du spectre de Watt à la figure 6.3 : pour des énergies
comprises entre 0 à environ 1 MeV, l’énergie évolue sensiblement en racine
carrée de l’énergie, soit l’approximation p1(En), au-delà de 1 MeV celle-ci évolue comme une exponentielle décroissante, soit l’approximation p2(En).
Ces deux expressions sont facilement intégrables et les fonctions inverses
accessibles. La densité de probabilité cumulée est donc une somme de deux
densités de probabilités cumulées « partielles » valables chacune sur un intervalle précis. La densité de probabilité cumulée sur un intervalle [0, Ec], où Ec
est une énergie limite à partir de laquelle on passe d’une expression à l’autre
(de l’ordre de 1 MeV), s’obtient alors de la façon suivante :
( )
( )
1 2
1
0
2
d
3
n
E
n
n
n
n
n
k
P E
k E
E
E E
=
=
³
La densité de probabilité cumulée sur l’intervalle [Ec, Emax] est :
( )
( )
( )
2
exp
exp
d
n
c
E
n
n
n
n
E
k
k
aE
P E
k
aE
E
a
ª
º
′′
′
−
−
¬
¼
′
=
−
=
³
L’échantillonnage avec nombre aléatoire peut donc ensuite être réalisé de
façon triviale, en sachant que : P1(Ec) + P2(Emax) = 1 :
Si
( )
( )
1
1
1
c
n
P E
E
P
−
ξ <
=
ξ
Si
( )
( )
(
)
1
1
2
1
c
n
c
c
P E
E
E P
P E
−
ξ >
=
+
ξ−
Pour illustrer encore cette technique, voici une autre approximation classique : celle d’une densité de probabilité décrivant une loi normale. Là encore,
pas de solution analytique pour l’intégrale de la densité de probabilité. Khan
[23] propose d’approximer cette fonction par une autre fonction ayant des
propriétés équivalentes. Considérons pour cette approche une loi normale centrée réduite :
( )
2
1 exp
2
2
x
p x
§
·
=
−
¨
¸
¨
¸
π
©
¹
Cette dernière peut être approximée par la fonction ci-dessous :
( )
( )
( )
(
)
2
exp
*
;
;
0
1 exp
B
Bx
p x
x
B
Bx
−
=
− ∞ ≤ ≤ ∞
>
+
−
On montrerait que cette fonction p*(x), comme la loi centrée réduite, possède une moyenne nulle et une variance de 1 dès lors que
/ 3
B = π
. Il est