Monte-Carlo appliqué aux calculs de dosimétrie et de radioprotection 393
on tire un nombre aléatoire ξ que l’on rend égal au résultat de la densité de
probabilité cumulée P(x) selon (6.8).
( )
P x
ξ =
(6.8)
Nous noterons que la densité de probabilité cumulée dans le contexte de
l’approche continue s’apparente à la fonction de répartition dans le cas d’une
loi normale. La valeur recherchée de x est ensuite déterminée au moyen de la
fonction inverse de P(x) (6.9).
( )
1
x P
−
=
ξ
(6.9)
Cette technique d’échantillonnage est appelée « méthode de l’inverse de la
densité de probabilité cumulée ».
Si nous prenons le cas de l’échantillonnage de l’énergie d’émission d’une
particule dont la section efficace différentielle pour une énergie comprise entre
E et E + dE est (dσ/dE) ; la densité de probabilité d’avoir une énergie
d’émission E est alors définie par l’expression (6.10).
( )
1 d
d
p E
E
§
·
σ
= ¨
¸
σ ©
¹
avec
max
min
d
d
d
E
E
E
E
§
·
σ
σ =
¨
¸
©
¹
³
(6.10)
À l’instar de l’expression (6.7), on déduit l’expression de la densité de probabilité cumulée, qui détermine la probabilité d’avoir une énergie d’émission
inférieure à une certaine valeur E selon (6.11).
( )
( )
min
min
1
d
d
d
d
E
E
E
E
P E
p E E
E
E
§
·
σ
=
=
¨
¸
σ
©
¹
³
³
(6.11)
Le tirage d’un nombre aléatoire permet alors d’obtenir le résultat de la valeur de E appelée ici E’, au moyen de la fonction inverse de la densité de probabilité cumulée (6.12).
( )
( )
1
P E
E
P
−
′
′
ξ =
⇔
=
ξ
(6.12)
Pour fonctionner, cette méthode requiert les trois conditions suivantes :
l’intégrale (6.11) doit être définie, elle doit accepter une solution analytique et
finalement la fonction inverse de cette solution doit être également calculable.
Toutefois, ce cas de figure « idéal » reste marginal.
Dans le cas contraire, lorsque cette technique n’est pas applicable, il existe
un certain nombre d’approches alternatives permettant l’échantillonnage de la
fonction P(x) décrivant la densité de probabilité cumulée. Dans ce qui suit,
nous allons détailler un certain nombre d’entre elles.
6.4.1 Échantillonnage d’une distribution continue
par une approche multi-groupes
La distribution continue de probabilité peut être découpée en groupe
d’énergie (energy bin). Le repérage de ces groupes d’énergie peut se faire de
trois façons différentes :
on tire un nombre aléatoire ξ que l’on rend égal au résultat de la densité de
probabilité cumulée P(x) selon (6.8).
( )
P x
ξ =
(6.8)
Nous noterons que la densité de probabilité cumulée dans le contexte de
l’approche continue s’apparente à la fonction de répartition dans le cas d’une
loi normale. La valeur recherchée de x est ensuite déterminée au moyen de la
fonction inverse de P(x) (6.9).
( )
1
x P
−
=
ξ
(6.9)
Cette technique d’échantillonnage est appelée « méthode de l’inverse de la
densité de probabilité cumulée ».
Si nous prenons le cas de l’échantillonnage de l’énergie d’émission d’une
particule dont la section efficace différentielle pour une énergie comprise entre
E et E + dE est (dσ/dE) ; la densité de probabilité d’avoir une énergie
d’émission E est alors définie par l’expression (6.10).
( )
1 d
d
p E
E
§
·
σ
= ¨
¸
σ ©
¹
avec
max
min
d
d
d
E
E
E
E
§
·
σ
σ =
¨
¸
©
¹
³
(6.10)
À l’instar de l’expression (6.7), on déduit l’expression de la densité de probabilité cumulée, qui détermine la probabilité d’avoir une énergie d’émission
inférieure à une certaine valeur E selon (6.11).
( )
( )
min
min
1
d
d
d
d
E
E
E
E
P E
p E E
E
E
§
·
σ
=
=
¨
¸
σ
©
¹
³
³
(6.11)
Le tirage d’un nombre aléatoire permet alors d’obtenir le résultat de la valeur de E appelée ici E’, au moyen de la fonction inverse de la densité de probabilité cumulée (6.12).
( )
( )
1
P E
E
P
−
′
′
ξ =
⇔
=
ξ
(6.12)
Pour fonctionner, cette méthode requiert les trois conditions suivantes :
l’intégrale (6.11) doit être définie, elle doit accepter une solution analytique et
finalement la fonction inverse de cette solution doit être également calculable.
Toutefois, ce cas de figure « idéal » reste marginal.
Dans le cas contraire, lorsque cette technique n’est pas applicable, il existe
un certain nombre d’approches alternatives permettant l’échantillonnage de la
fonction P(x) décrivant la densité de probabilité cumulée. Dans ce qui suit,
nous allons détailler un certain nombre d’entre elles.
6.4.1 Échantillonnage d’une distribution continue
par une approche multi-groupes
La distribution continue de probabilité peut être découpée en groupe
d’énergie (energy bin). Le repérage de ces groupes d’énergie peut se faire de
trois façons différentes :