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Physique appliquée à l’exposition externe : dosimétrie et radioprotection
té cumulée de sorte que P = ξ, alors si l’inégalité (6.6) est vérifiée et la k-ième
interaction est choisie :
( )
( )
1
P k
P k
− < ξ ≤
(6.6)
À titre d’exemple, pour notre problème, si le tirage du nombre aléatoire
conduit à ξ = 0,35, l’interaction correspondante sera de type Compton, comme
montré à la figure 6.2 b. Plus généralement, selon la valeur de ξ, on aurait les
choix suivants :
– 0 < ξ < 0,2 l’interaction est de type photoélectrique ;
– 0,2 < ξ < 0,7 l’interaction est de type Compton ;
– 0,7 < ξ < 1 l’interaction est de type création de paire.
De fait, comme ξ est uniformément distribué sur l’intervalle unité, chaque
type d’interaction est échantillonné avec les probabilités p1 = 0,2, p2 = 0,5 et
p3 = 0,3. Après un grand nombre de tirages, on observe, lors des collisions, les
occurrences d’interaction suivantes : 50 % de Compton, 20 % de photoélectrique et 30 % de création de paire. Pour un faible nombre de tirages, les fluctuations statistiques peuvent être significatives et la diffusion Compton peut
être sélectionnée soit au-dessus soit en dessous de 50 %. En conséquence, la
nature statistique de l’échantillonnage impose le tirage d’un nombre conséquent de particules pour coller au plus près à la valeur vraie estimée.
À noter que l’on peut procéder de façon similaire, dans le cas de
l’échantillonnage de l’énergie émise par un radionucléide émetteur d’un spectre
discret de N raies d’énergie E γ,n et de pourcentages d’émission Γn.
6.4 Échantillonnage d’une distribution continue,
application au calcul de l’énergie d’émission
et de la direction d’une particule diffusée
Il existe dans les modèles de physique de nombreuses distributions de probabilités « continue » qui sont définies par des expressions analytiques : émission de l’énergie, section efficace de diffusion… Pour échantillonner ces distributions, il y lieu d’étendre l’approche discrète précédente à une approche continue. Le signe somme précédent devient alors une intégrale et la probabilité
p(x) que la variable x ait une valeur x devient une densité de probabilité continue définie par une expression analytique. La densité de probabilité cumulée
P(x), associée, qui traduit la probabilité que la variable x est une valeur inférieure à x, se calcule selon (6.7).
( )
min
( )d
x
x
P x
p x x
= ³
avec
min
( )d
1
x
p x x
∞
=
³
(6.7)
xmin est la valeur minimale susceptible d’être prise par la variable x. Ces deux
expressions sont respectivement les « extensions » continues des expressions
(6.4) et (6.5) de l’approche discrète précédente. Pour obtenir une valeur de x,
Physique appliquée à l’exposition externe : dosimétrie et radioprotection
té cumulée de sorte que P = ξ, alors si l’inégalité (6.6) est vérifiée et la k-ième
interaction est choisie :
( )
( )
1
P k
P k
− < ξ ≤
(6.6)
À titre d’exemple, pour notre problème, si le tirage du nombre aléatoire
conduit à ξ = 0,35, l’interaction correspondante sera de type Compton, comme
montré à la figure 6.2 b. Plus généralement, selon la valeur de ξ, on aurait les
choix suivants :
– 0 < ξ < 0,2 l’interaction est de type photoélectrique ;
– 0,2 < ξ < 0,7 l’interaction est de type Compton ;
– 0,7 < ξ < 1 l’interaction est de type création de paire.
De fait, comme ξ est uniformément distribué sur l’intervalle unité, chaque
type d’interaction est échantillonné avec les probabilités p1 = 0,2, p2 = 0,5 et
p3 = 0,3. Après un grand nombre de tirages, on observe, lors des collisions, les
occurrences d’interaction suivantes : 50 % de Compton, 20 % de photoélectrique et 30 % de création de paire. Pour un faible nombre de tirages, les fluctuations statistiques peuvent être significatives et la diffusion Compton peut
être sélectionnée soit au-dessus soit en dessous de 50 %. En conséquence, la
nature statistique de l’échantillonnage impose le tirage d’un nombre conséquent de particules pour coller au plus près à la valeur vraie estimée.
À noter que l’on peut procéder de façon similaire, dans le cas de
l’échantillonnage de l’énergie émise par un radionucléide émetteur d’un spectre
discret de N raies d’énergie E γ,n et de pourcentages d’émission Γn.
6.4 Échantillonnage d’une distribution continue,
application au calcul de l’énergie d’émission
et de la direction d’une particule diffusée
Il existe dans les modèles de physique de nombreuses distributions de probabilités « continue » qui sont définies par des expressions analytiques : émission de l’énergie, section efficace de diffusion… Pour échantillonner ces distributions, il y lieu d’étendre l’approche discrète précédente à une approche continue. Le signe somme précédent devient alors une intégrale et la probabilité
p(x) que la variable x ait une valeur x devient une densité de probabilité continue définie par une expression analytique. La densité de probabilité cumulée
P(x), associée, qui traduit la probabilité que la variable x est une valeur inférieure à x, se calcule selon (6.7).
( )
min
( )d
x
x
P x
p x x
= ³
avec
min
( )d
1
x
p x x
∞
=
³
(6.7)
xmin est la valeur minimale susceptible d’être prise par la variable x. Ces deux
expressions sont respectivement les « extensions » continues des expressions
(6.4) et (6.5) de l’approche discrète précédente. Pour obtenir une valeur de x,