Interaction des rayonnements ionisants dans les tissus
141
Figure 3 – Volume compris entre le paramètre d’impact b et b + db.
L’énergie cédée à l’ensemble de ces électrons sera donc :
max
min
2
2 4
2
0
e
4
1
d
d
d
4
b
b
z e
b
T
N Z
x
b
m v
§
· π
=
¨
¸
πε
©
¹
³
ou encore :
2 4
max
2
2
min
0
e
c
d
1
ln
d
4
T
ze
b
NZ
x
b
m v
§
·
§
·
=
¨
¸
¨
¸
πε
©
¹
©
¹
(2)
Reste à déterminer les paramètres d’impact bmax et bmin, c’est-à-dire les
distances minimale et maximale radiales pour lesquelles l’effet de
l’interaction coulombienne se fait ressentir par la particule au cours de son
passage. Concernant bmin, nous avons vu que, classiquement, le maximum
d’énergie qui peut être communiqué à un électron par une particule chargée
lourde est donné par l’expression (1), ainsi :
e
e
2
2
emax
0
emax
e
1
4
4
1
2
2
m
m
T
T
T
M v
mv
M
M
=
⇔
=
×
=
En mécanique relativiste, étant donné que p = γmv, nous obtiendrions :
Temax = 2γ
2
mev
2 . Ainsi, en injectant cette expression dans l’expression (1), il
vient :
2
2
min
0
e
4
.
b
ze
v m
=
πε γ
Pour connaître la distance maximale pour laquelle la particule chargée interagit avec un électron du milieu, on prend
l’énergie minimale qui peut être transmise à un électron pour le faire passer
à un état excité. Cette énergie est appelée potentiel moyen d’excitation et
dépend du milieu, on la note I. En utilisant encore l’expression (1), nous
obtenons cette fois :
2
2 4
2 4
max
2 2
2
0
e
e
2
2
1
1
4
4
o
z e
z e
I
b
b v m
v m I
§
·
=
⇔
=
¨
¸
πε
πε
©
¹
Ainsi, en introduisant les deux expressions des paramètres d’impact dans
(2) et en exprimant la densité atomique N en fonction de la densité ρ du
milieu et de son numéro atomique A, nous obtenons finalement l’expression
de Bohr :
2 4
2
2
e
2
2
0
e
c
d
1
2
ln
d
8
A
N Z
T
ze
mv
x
A
I
m v
§
·
§
·
ρ
γ
=
¨
¸
¨
¸
¨
¸
πε
©
¹
©
¹
Par ailleurs, nous pouvons directement déterminer la valeur de β = v/c
en fonction de l’énergie cinétique de la particule. De plus, cette transformation a l’avantage de faire apparaître c
2 permettant d’exprimer directement
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Figure 3 – Volume compris entre le paramètre d’impact b et b + db.
L’énergie cédée à l’ensemble de ces électrons sera donc :
max
min
2
2 4
2
0
e
4
1
d
d
d
4
b
b
z e
b
T
N Z
x
b
m v
§
· π
=
¨
¸
πε
©
¹
³
ou encore :
2 4
max
2
2
min
0
e
c
d
1
ln
d
4
T
ze
b
NZ
x
b
m v
§
·
§
·
=
¨
¸
¨
¸
πε
©
¹
©
¹
(2)
Reste à déterminer les paramètres d’impact bmax et bmin, c’est-à-dire les
distances minimale et maximale radiales pour lesquelles l’effet de
l’interaction coulombienne se fait ressentir par la particule au cours de son
passage. Concernant bmin, nous avons vu que, classiquement, le maximum
d’énergie qui peut être communiqué à un électron par une particule chargée
lourde est donné par l’expression (1), ainsi :
e
e
2
2
emax
0
emax
e
1
4
4
1
2
2
m
m
T
T
T
M v
mv
M
M
=
⇔
=
×
=
En mécanique relativiste, étant donné que p = γmv, nous obtiendrions :
Temax = 2γ
2
mev
2 . Ainsi, en injectant cette expression dans l’expression (1), il
vient :
2
2
min
0
e
4
.
b
ze
v m
=
πε γ
Pour connaître la distance maximale pour laquelle la particule chargée interagit avec un électron du milieu, on prend
l’énergie minimale qui peut être transmise à un électron pour le faire passer
à un état excité. Cette énergie est appelée potentiel moyen d’excitation et
dépend du milieu, on la note I. En utilisant encore l’expression (1), nous
obtenons cette fois :
2
2 4
2 4
max
2 2
2
0
e
e
2
2
1
1
4
4
o
z e
z e
I
b
b v m
v m I
§
·
=
⇔
=
¨
¸
πε
πε
©
¹
Ainsi, en introduisant les deux expressions des paramètres d’impact dans
(2) et en exprimant la densité atomique N en fonction de la densité ρ du
milieu et de son numéro atomique A, nous obtenons finalement l’expression
de Bohr :
2 4
2
2
e
2
2
0
e
c
d
1
2
ln
d
8
A
N Z
T
ze
mv
x
A
I
m v
§
·
§
·
ρ
γ
=
¨
¸
¨
¸
¨
¸
πε
©
¹
©
¹
Par ailleurs, nous pouvons directement déterminer la valeur de β = v/c
en fonction de l’énergie cinétique de la particule. De plus, cette transformation a l’avantage de faire apparaître c
2 permettant d’exprimer directement