Corrections 687
3. La masse volumique du fer est égale à la masse des atomes contenus dans une maille divisée par le
volume de celle-ci : ρ =
2 × M
Naa 3 . Le paramètre de maille est donc a =
2M
Naρ
1
3
= 287 pm.
4. Les sphères de rayon r se touchent sur la diagonale du cube, dont la longueur est a
√
3. On a donc
4r = a
√
3, soit r = a
√
3/4 = 124 pm.
5. La compacité est le volume occupé par les sphères (2 ×
4
3
πr
3 ) divisée par le volume de la maille (a
3 ).
Elle est donc égale à
8
3
π
√
3
4
3
= 0,68. La structure cubique centrée est donc moins compacte que la
structure CFC (de compacité 0,74).
6. Soit r1 le rayon maximal d’une sphère que l’on peut loger au centre des arêtes de la maille cubique
centrée. On a 2r + 2r1 = a ce qui conduit à r1 =
a
2
− r =
2
√
3
− 1
r = 19 pm.
Exercice 25.5
1. La maille CFC est représentée figure 25.2.
2. Il y a 8 atomes de fer sur les sommets de la maille cubique, partagés chacun entre 8 mailles, et 6 atomes
aux centres des faces, partagés chacun entre 2 mailles. La population est donc 8/8 + 6/2 = 4 atomes
de fer par maille.
Soit a le paramètre de la maille. Les plus proches voisins d’un atome sont situés à une distance égale
à la demi-diagonale d’une face, soit a
√
2/2. Il sont au nombre de 12. La coordinence est donc 12.
3. Dans le modèle des sphères dures, les sphères de rayon r sont en contact sur les diagonales des faces.
On a donc a
√
2 = 4r, ce qui conduit à a = 351 pm.
4. La compacité est C =
4 ×
4
3
πr
3
a 3
=
16
3
π
√
2
4
3
= 0,74.
5. La masse volumique est la masse des atomes contenus dans une maille divisée par le volume d’une
maille , soit ρ =
4M
Naa 3 = 8,58 g · cm
−3 . La masse volumique est 9% plus grande que celle du fer α, qui
a une structure cubique centrée. Cela est dû à la plus grande compacité de la structure CFC (le rapport
des compacités est égal au rapport des masses volumiques).
6. Le milieu d’une arête de la maille CFC est un site octaédrique. On peut donc y loger une sphère de
rayon r1 tel que 2r1 + 2r = a. Par ailleurs a
√
2 = 4r, d’où r1 = (
√
2 − 1)r = 51 pm.
7. Un site tétraédrique est au centre d’un cube de largeur a/2 (figure 25.13). Il est donc au centre du
rectangle ABCD de longueur
√
2a/2 et de largeur a/2, dont la diagonale a une longueur AC =
a
√
3
2
.
La sphère pouvant être logée dans ce site a un rayon r1 tel que 2r1 + 2r = AC, ce qui conduit à
r1 =
3
2
− 1
r = 28 pm.
Exercice 25.6
1. La solubilité du carbone est plus grande dans l’austénite. Cela s’explique par la plus grande taille de
ses sites interstitiels. Dans la ferrite, de structure cubique centrée, les sites ont un rayon de 19 pm.
Dans l’austénite, de structure cubique à faces centrées, les sites octaédriques et tétraédriques ont
respectivement un rayon de 51 pm et 28 pm.
2. Le pourcentage en carbone vaut
m carbone
m carbone + m fer
=
1
200
= 0,5 %. Ainsi m carbone + m fer = 200m carbone
soit m fer = 199m carbone . Pour un atome de carbone de masse m C , il y a donc une masse 199m C
d’atomes de fer, c’est-à-dire un nombre d’atomes de fer N = 199mC /m Fe = 199M (C)/M (Fe) = 43.
3. La maille comporte 8/8 + 1 = 2 atomes de fer et 2/2 + 4/4 = 2 sites. Il y a donc autant d’atomes de
fer que de sites dans une maille. Ainsi, un atome de carbone pour 43 atomes de fer correspond à un
atome de carbone pour 43 sites ce qui correspond à un taux d’occupation de
1
43
.
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3. La masse volumique du fer est égale à la masse des atomes contenus dans une maille divisée par le
volume de celle-ci : ρ =
2 × M
Naa 3 . Le paramètre de maille est donc a =
2M
Naρ
1
3
= 287 pm.
4. Les sphères de rayon r se touchent sur la diagonale du cube, dont la longueur est a
√
3. On a donc
4r = a
√
3, soit r = a
√
3/4 = 124 pm.
5. La compacité est le volume occupé par les sphères (2 ×
4
3
πr
3 ) divisée par le volume de la maille (a
3 ).
Elle est donc égale à
8
3
π
√
3
4
3
= 0,68. La structure cubique centrée est donc moins compacte que la
structure CFC (de compacité 0,74).
6. Soit r1 le rayon maximal d’une sphère que l’on peut loger au centre des arêtes de la maille cubique
centrée. On a 2r + 2r1 = a ce qui conduit à r1 =
a
2
− r =
2
√
3
− 1
r = 19 pm.
Exercice 25.5
1. La maille CFC est représentée figure 25.2.
2. Il y a 8 atomes de fer sur les sommets de la maille cubique, partagés chacun entre 8 mailles, et 6 atomes
aux centres des faces, partagés chacun entre 2 mailles. La population est donc 8/8 + 6/2 = 4 atomes
de fer par maille.
Soit a le paramètre de la maille. Les plus proches voisins d’un atome sont situés à une distance égale
à la demi-diagonale d’une face, soit a
√
2/2. Il sont au nombre de 12. La coordinence est donc 12.
3. Dans le modèle des sphères dures, les sphères de rayon r sont en contact sur les diagonales des faces.
On a donc a
√
2 = 4r, ce qui conduit à a = 351 pm.
4. La compacité est C =
4 ×
4
3
πr
3
a 3
=
16
3
π
√
2
4
3
= 0,74.
5. La masse volumique est la masse des atomes contenus dans une maille divisée par le volume d’une
maille , soit ρ =
4M
Naa 3 = 8,58 g · cm
−3 . La masse volumique est 9% plus grande que celle du fer α, qui
a une structure cubique centrée. Cela est dû à la plus grande compacité de la structure CFC (le rapport
des compacités est égal au rapport des masses volumiques).
6. Le milieu d’une arête de la maille CFC est un site octaédrique. On peut donc y loger une sphère de
rayon r1 tel que 2r1 + 2r = a. Par ailleurs a
√
2 = 4r, d’où r1 = (
√
2 − 1)r = 51 pm.
7. Un site tétraédrique est au centre d’un cube de largeur a/2 (figure 25.13). Il est donc au centre du
rectangle ABCD de longueur
√
2a/2 et de largeur a/2, dont la diagonale a une longueur AC =
a
√
3
2
.
La sphère pouvant être logée dans ce site a un rayon r1 tel que 2r1 + 2r = AC, ce qui conduit à
r1 =
3
2
− 1
r = 28 pm.
Exercice 25.6
1. La solubilité du carbone est plus grande dans l’austénite. Cela s’explique par la plus grande taille de
ses sites interstitiels. Dans la ferrite, de structure cubique centrée, les sites ont un rayon de 19 pm.
Dans l’austénite, de structure cubique à faces centrées, les sites octaédriques et tétraédriques ont
respectivement un rayon de 51 pm et 28 pm.
2. Le pourcentage en carbone vaut
m carbone
m carbone + m fer
=
1
200
= 0,5 %. Ainsi m carbone + m fer = 200m carbone
soit m fer = 199m carbone . Pour un atome de carbone de masse m C , il y a donc une masse 199m C
d’atomes de fer, c’est-à-dire un nombre d’atomes de fer N = 199mC /m Fe = 199M (C)/M (Fe) = 43.
3. La maille comporte 8/8 + 1 = 2 atomes de fer et 2/2 + 4/4 = 2 sites. Il y a donc autant d’atomes de
fer que de sites dans une maille. Ainsi, un atome de carbone pour 43 atomes de fer correspond à un
atome de carbone pour 43 sites ce qui correspond à un taux d’occupation de
1
43
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