686 Chapitre 25
Solides cristallins
Exercice 25.2
1. Voir figure 25.12.
2. On détermine tout d’abord la population de la maille CFC : 8 sommets partagés chacun entre 8 mailles
et 6 centres de faces partagés chacun entre 2 mailles. Au total, on a donc
8
8
+
6
2
= 1 + 3 = 4 atomes
par maille. Il y a 8 sites tétraédriques dans la maille CFC. Un site sur deux est occupé.
La population est donc 4 + 4 = 8 atomes d’étain par maille.
3. Les voisins les plus proches d’un atome sont aux sommets d’un tétraèdre régulier dont il est le centre.
La distance la plus courte est la distance entre le centre et un sommet d’un cube de côté a/2. La
coordinence est donc 4.
4. Pour calculer a, on utilise la masse volumique donnée. La masse d’une maille est égale à la population
multipliée par la masse d’un atome. La masse volumique est donc ρ =
8M
Naa 3 . La largeur de maille est
a =
8M
ρNa
1
3
= 6,50 · 10
−8 cm = 650 pm.
5. Une sphère est en contact avec ses 4 voisines dont les centres sont situés aux sommets d’un tétraèdre.
La figure 25.13 montre la ligne de contact joignant le centre de deux sphères : c’est la diagonale du
rectangle de côtés
a
2
et
√
2a
2
. La longueur de cette diagonale est AC =
a
√
3
2
. Par ailleurs AC = 4r donc
le rayon des sphères est r =
a
√
3
8
= 141 pm.
6. La compacité est le volume occupé par les sphères 8 ×
4
3
πr
3 divisé par le volume de la maille a
3 . On
obtient C = 0,34. C’est beaucoup moins que la compacité d’une structure métallique CFC (0,74).
Exercice 25.3
1. La maille CFC contient 8 sites tétraédriques. Le nombre d’ions Ca
2+ dans la maille CFC est égal au
nombre de sommets (8) divisé par le nombre de mailles voisines qui partagent chaque sommet (8) plus
le nombre de centres de faces (6) divisé par le nombre de mailles voisines qui partagent chaque centre
(2), ce qui donne 1 + 3 = 4 ions Ca
2+ par maille. La maille doit donc contenir 8 ions F
– par maille pour
que la stœchiométrie du composé soit vérifiée ainsi que l’électroneutralité de la maille. Ainsi, tous les
sites tétraédriques sont occupés par les anions.
2. Voir figure 25.11.
3. Les proches voisins Ca
2+ d’un ion F
– sont aux 4 sommets du tétraèdre dont il est le centre. La coordinence des anions est donc 4. Les proches voisins F
– d’un cation Ca
2+ , par exemple situé au centre
d’une face, sont sur 4 sites tétraédriques de la maille et sur 4 sites tétraédriques de la maille voisine
qui partage le cation. La coordinence des cations est donc 8.
4. La masse volumique est ρ =
4M (Ca) + 8M (F)
Naa 3
= 3,19 g · cm
−3 .
Exercice 25.4
1. La structure cubique centrée est représentée ci-contre, avec le paramètre
de maille a, qui est la longueur d’une arête du cube.
2. La maille comporte 8 atomes de fer sur les sommets partagés chacun
entre 8 mailles et un atome de fer au centre de la maille, soit au total
1 + 1 = 2 atomes par maille.
Chaque atome de fer, par exemple celui placé au centre de la maille, a 8
proches voisins situés à une distance égale à la demi-diagonale du cube,
c’est-à-dire a
√
3/2. La coordinence est donc 8 (à comparer à 12 pour
une structure CFC).
a
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Solides cristallins
Exercice 25.2
1. Voir figure 25.12.
2. On détermine tout d’abord la population de la maille CFC : 8 sommets partagés chacun entre 8 mailles
et 6 centres de faces partagés chacun entre 2 mailles. Au total, on a donc
8
8
+
6
2
= 1 + 3 = 4 atomes
par maille. Il y a 8 sites tétraédriques dans la maille CFC. Un site sur deux est occupé.
La population est donc 4 + 4 = 8 atomes d’étain par maille.
3. Les voisins les plus proches d’un atome sont aux sommets d’un tétraèdre régulier dont il est le centre.
La distance la plus courte est la distance entre le centre et un sommet d’un cube de côté a/2. La
coordinence est donc 4.
4. Pour calculer a, on utilise la masse volumique donnée. La masse d’une maille est égale à la population
multipliée par la masse d’un atome. La masse volumique est donc ρ =
8M
Naa 3 . La largeur de maille est
a =
8M
ρNa
1
3
= 6,50 · 10
−8 cm = 650 pm.
5. Une sphère est en contact avec ses 4 voisines dont les centres sont situés aux sommets d’un tétraèdre.
La figure 25.13 montre la ligne de contact joignant le centre de deux sphères : c’est la diagonale du
rectangle de côtés
a
2
et
√
2a
2
. La longueur de cette diagonale est AC =
a
√
3
2
. Par ailleurs AC = 4r donc
le rayon des sphères est r =
a
√
3
8
= 141 pm.
6. La compacité est le volume occupé par les sphères 8 ×
4
3
πr
3 divisé par le volume de la maille a
3 . On
obtient C = 0,34. C’est beaucoup moins que la compacité d’une structure métallique CFC (0,74).
Exercice 25.3
1. La maille CFC contient 8 sites tétraédriques. Le nombre d’ions Ca
2+ dans la maille CFC est égal au
nombre de sommets (8) divisé par le nombre de mailles voisines qui partagent chaque sommet (8) plus
le nombre de centres de faces (6) divisé par le nombre de mailles voisines qui partagent chaque centre
(2), ce qui donne 1 + 3 = 4 ions Ca
2+ par maille. La maille doit donc contenir 8 ions F
– par maille pour
que la stœchiométrie du composé soit vérifiée ainsi que l’électroneutralité de la maille. Ainsi, tous les
sites tétraédriques sont occupés par les anions.
2. Voir figure 25.11.
3. Les proches voisins Ca
2+ d’un ion F
– sont aux 4 sommets du tétraèdre dont il est le centre. La coordinence des anions est donc 4. Les proches voisins F
– d’un cation Ca
2+ , par exemple situé au centre
d’une face, sont sur 4 sites tétraédriques de la maille et sur 4 sites tétraédriques de la maille voisine
qui partage le cation. La coordinence des cations est donc 8.
4. La masse volumique est ρ =
4M (Ca) + 8M (F)
Naa 3
= 3,19 g · cm
−3 .
Exercice 25.4
1. La structure cubique centrée est représentée ci-contre, avec le paramètre
de maille a, qui est la longueur d’une arête du cube.
2. La maille comporte 8 atomes de fer sur les sommets partagés chacun
entre 8 mailles et un atome de fer au centre de la maille, soit au total
1 + 1 = 2 atomes par maille.
Chaque atome de fer, par exemple celui placé au centre de la maille, a 8
proches voisins situés à une distance égale à la demi-diagonale du cube,
c’est-à-dire a
√
3/2. La coordinence est donc 8 (à comparer à 12 pour
une structure CFC).
a
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