Corrections 607
La valeur moyenne de ce couple est
#»
Γm =
(Beπa
2 )
2 ω0
2R
#» uz = Γm #» uz.
5. Nous voyons donc aisément d’après ce qui précède que Γmω0 = Pm = PJ : la puissance mécanique fournie par le couple moteur à la spire sera entièrement dissipée par effet Joule dans la spire.
Exercice 22.7
1. En régime permanent établi, la bobine se comporte comme un fil, et ainsi i1 =
E
r
. L’énergie stockée
dans cette bobine est alors Emag =
1
2
Li
2
1 =
LE
2
2r 2 . Si on considére que toute cette énergie permet
l’élévation de la charge, alors mgh =
LE
2
2r 2 , soit h =
LE
2
2mgr 2 = 1,0 · 10
3 m, ce qui bien sûr n’est pas
réaliste !
2. Il y a continuité de l’intensité du courant circulant dans une bobine,
donc i(0) =
E
r
= 20 A.
3. L’intensité circulant dans la tige y crée une force de Laplace qui la
déplace. Ceci est responsable d’une variation du flux magnétique à travers le circuit et, d’après la loi de Faraday, de l’apparition d’une f.e.m
induite e(t) = −
dΦ(t)
dt
= −Beav(t).
Le circuit électrique équivalent est représenté ci-contre. La loi des
mailles permet d’obtenir : Ri(t) + L
di(t)
dt
= −Beav(t)
L
R
e(t)
i(t)
4. La force de Laplace s’exerçant sur T est
#»
F La(t) = i(t)Bea #» ux. Pour que M puisse être soulevé, il faut
que iBea > mg, soit i > Imin =
mg
aBe
= 13 A. Le courant initial i(0) respecte bien cette condition.
5. M est soumis à son poids et à la tension du fil. Il vient par application de la loi de la quantité de
mouvement : m
dv(t)
dt
= −mg + i(t)Bea.
6. a. Courbe z(t) : nous remarquons que les hauteurs maximales atteintes sont de l’ordre du mètre, ce
qui semble déjà plus raisonnable que la hauteur initialement prévue. De plus, ces graphes montrent
clairement l’influence de l’inductance : plus cette dernière est importante, plus longue est la montée
(on peut noter que le temps d’évolution varie presque proportionnellement à L). La hauteur atteinte
croît également avec L.
On observe dans une première phase une augmentation de z, puis dans une seconde phase, z
diminue, alors que l’intensité, partant de i(0), ne fait que décroître. Dans la première phase le
régime est moteur et dans la seconde phase, générateur.
Courbe i(t) : L’intensité décroît plus rapidement avec le temps pour les faibles inductances.
La présence de deux bobines permet d’augmenter la hauteur et le temps de vol.
b. On multiplie l’équation électrique par i(t) : Ri
2 +
L
2
di
2
dt
= −Beavi.
On multiplie l’équation mécanique par v(t) :
m
2
dv
2
dt
= −mgv + iBeav.
On obtient en faisant la somme de ces deux expressions : Ri
2 +
L
2
di
2
dt
+
m
2
dv
2
dt
= −mg
dz
dt
, soit,
par intégration entre l’instant initial et l’instant t :
EJ (t) +
1
2
L(i
2 (t) − i
2 (0)) +
1
2
(mv
2 (t) − 0) + mg(z(t) − 0) = 0 avec EJ (t) l’énergie dissipée par effet
Joule dans la résistance pendant cet intervalle de temps. On peut aussi écrire :
1
2
Li
2 (0) = Emag(0) = EJ (t) + Emag(t) + Em(t) avec Em l’énergie mécanique de M à t. L’énergie
initialement stockée dans la bobine est partiellement dissipée par effet Joule dans la résistance et
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
La valeur moyenne de ce couple est
#»
Γm =
(Beπa
2 )
2 ω0
2R
#» uz = Γm #» uz.
5. Nous voyons donc aisément d’après ce qui précède que Γmω0 = Pm = PJ : la puissance mécanique fournie par le couple moteur à la spire sera entièrement dissipée par effet Joule dans la spire.
Exercice 22.7
1. En régime permanent établi, la bobine se comporte comme un fil, et ainsi i1 =
E
r
. L’énergie stockée
dans cette bobine est alors Emag =
1
2
Li
2
1 =
LE
2
2r 2 . Si on considére que toute cette énergie permet
l’élévation de la charge, alors mgh =
LE
2
2r 2 , soit h =
LE
2
2mgr 2 = 1,0 · 10
3 m, ce qui bien sûr n’est pas
réaliste !
2. Il y a continuité de l’intensité du courant circulant dans une bobine,
donc i(0) =
E
r
= 20 A.
3. L’intensité circulant dans la tige y crée une force de Laplace qui la
déplace. Ceci est responsable d’une variation du flux magnétique à travers le circuit et, d’après la loi de Faraday, de l’apparition d’une f.e.m
induite e(t) = −
dΦ(t)
dt
= −Beav(t).
Le circuit électrique équivalent est représenté ci-contre. La loi des
mailles permet d’obtenir : Ri(t) + L
di(t)
dt
= −Beav(t)
L
R
e(t)
i(t)
4. La force de Laplace s’exerçant sur T est
#»
F La(t) = i(t)Bea #» ux. Pour que M puisse être soulevé, il faut
que iBea > mg, soit i > Imin =
mg
aBe
= 13 A. Le courant initial i(0) respecte bien cette condition.
5. M est soumis à son poids et à la tension du fil. Il vient par application de la loi de la quantité de
mouvement : m
dv(t)
dt
= −mg + i(t)Bea.
6. a. Courbe z(t) : nous remarquons que les hauteurs maximales atteintes sont de l’ordre du mètre, ce
qui semble déjà plus raisonnable que la hauteur initialement prévue. De plus, ces graphes montrent
clairement l’influence de l’inductance : plus cette dernière est importante, plus longue est la montée
(on peut noter que le temps d’évolution varie presque proportionnellement à L). La hauteur atteinte
croît également avec L.
On observe dans une première phase une augmentation de z, puis dans une seconde phase, z
diminue, alors que l’intensité, partant de i(0), ne fait que décroître. Dans la première phase le
régime est moteur et dans la seconde phase, générateur.
Courbe i(t) : L’intensité décroît plus rapidement avec le temps pour les faibles inductances.
La présence de deux bobines permet d’augmenter la hauteur et le temps de vol.
b. On multiplie l’équation électrique par i(t) : Ri
2 +
L
2
di
2
dt
= −Beavi.
On multiplie l’équation mécanique par v(t) :
m
2
dv
2
dt
= −mgv + iBeav.
On obtient en faisant la somme de ces deux expressions : Ri
2 +
L
2
di
2
dt
+
m
2
dv
2
dt
= −mg
dz
dt
, soit,
par intégration entre l’instant initial et l’instant t :
EJ (t) +
1
2
L(i
2 (t) − i
2 (0)) +
1
2
(mv
2 (t) − 0) + mg(z(t) − 0) = 0 avec EJ (t) l’énergie dissipée par effet
Joule dans la résistance pendant cet intervalle de temps. On peut aussi écrire :
1
2
Li
2 (0) = Emag(0) = EJ (t) + Emag(t) + Em(t) avec Em l’énergie mécanique de M à t. L’énergie
initialement stockée dans la bobine est partiellement dissipée par effet Joule dans la résistance et
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