608 Chapitre 22
Circuit mobile dans un champ stationnaire
aussi partiellement convertie en énergie mécanique Em =
1
2
mv
2 + mgz et en énergie magnétique
résiduelle Emag(t).
Exercice 22.8
1. En l’absence de champ magnétique, la couronne est soumise à son poids
#»
P qui s’applique en G, dont le
moment par rapport à l’axe de rotation est MOz(
#»
P ) = −mga sin(θ), à la réaction au niveau de l’axe de
moment nul par rapport à ce dernier (absence de frottement). Le moment cinétique de cette couronne
par rapport à Oz étant LOz = J ˙
θ, l’application de la loi du moment cinétique scalaire par rapport à
Oz conduit à : J ¨
θ + mga sin(θ) = 0.
Dans l’hypothèse des petits mouvements, cette équation devient ¨
θ +
mga
J
θ = 0. On reconnait l’équation
d’un oscillateur harmonique, de pulsation ω0 =
mga
J
= 16 rad · s
−1 .
2. La couronne va se mouvoir dans le champ magnétique uniforme, il en résultera une variation du flux de
ce champ à travers les N spires de cette couronne, d’où l’apparition d’une f.e.m et d’un courant induits,
dont l’effet sera de s’opposer à ce qui leur donne naissance, c’est-à-dire au mouvement de la spire : il
y aura donc apparition de forces de Laplace dont le moment sera résistant et freinera le pendule.
3. e(t) = −
dΦ
dt
= −
d(NBeπa
2 #» uy · #» n )
dt
= −
d[NBeπa
2 sin(θ(t))]
dt
= −NBeπa
2 ˙
θ(t) cos(θ(t)).
La spire étant uniquement résistive, cette f.e.m est responsable de l’apparition de l’intensité induite
suivante : i(t) =
e(t)
R
= −
NBeπa
2
R
˙
θ(t) cos(θ(t)).
4.
#»
Γ = i(t)Nπa
2 #» n ∧ Be #» uy = NBeπa
2 i(t) cos(θ(t)) #» uz.
L’application de la loi du moment cinétique scalaire par rapport à Oz conduit à :
J ¨
θ(t) + mga sin(θ(t)) − NBeπa
2 i(t) cos(θ(t)) = 0.
5. En remplaçant i(t) par son expression dans l’expression ci-dessus, on obtient :
J ¨
θ(t) + mga sin(θ(t)) +
N
2 B
2
e π
2 a
4
R
˙
θ(t) cos
2 (θ(t)) = 0.
La linéarisation de cette équation dans le cadre des mouvements de faible amplitude amène à :
¨
θ(t) +
mga
J
θ(t) +
N
2 B
2
e π
2 a
4
RJ
˙
θ(t) = 0.
6. Nous reconnaissons l’équation d’un oscillateur amorti. Le retour le plus rapide de la couronne vers sa
position d’équilibre correspond au régime critique, soit à Δ =
N
2 B
2
e π
2 a
4
RJ
2
− 4
mga
J
= 0. On en
déduit donc Be,c =
1
Nπa 2
√
2RJω0 = 0,14 T.
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Circuit mobile dans un champ stationnaire
aussi partiellement convertie en énergie mécanique Em =
1
2
mv
2 + mgz et en énergie magnétique
résiduelle Emag(t).
Exercice 22.8
1. En l’absence de champ magnétique, la couronne est soumise à son poids
#»
P qui s’applique en G, dont le
moment par rapport à l’axe de rotation est MOz(
#»
P ) = −mga sin(θ), à la réaction au niveau de l’axe de
moment nul par rapport à ce dernier (absence de frottement). Le moment cinétique de cette couronne
par rapport à Oz étant LOz = J ˙
θ, l’application de la loi du moment cinétique scalaire par rapport à
Oz conduit à : J ¨
θ + mga sin(θ) = 0.
Dans l’hypothèse des petits mouvements, cette équation devient ¨
θ +
mga
J
θ = 0. On reconnait l’équation
d’un oscillateur harmonique, de pulsation ω0 =
mga
J
= 16 rad · s
−1 .
2. La couronne va se mouvoir dans le champ magnétique uniforme, il en résultera une variation du flux de
ce champ à travers les N spires de cette couronne, d’où l’apparition d’une f.e.m et d’un courant induits,
dont l’effet sera de s’opposer à ce qui leur donne naissance, c’est-à-dire au mouvement de la spire : il
y aura donc apparition de forces de Laplace dont le moment sera résistant et freinera le pendule.
3. e(t) = −
dΦ
dt
= −
d(NBeπa
2 #» uy · #» n )
dt
= −
d[NBeπa
2 sin(θ(t))]
dt
= −NBeπa
2 ˙
θ(t) cos(θ(t)).
La spire étant uniquement résistive, cette f.e.m est responsable de l’apparition de l’intensité induite
suivante : i(t) =
e(t)
R
= −
NBeπa
2
R
˙
θ(t) cos(θ(t)).
4.
#»
Γ = i(t)Nπa
2 #» n ∧ Be #» uy = NBeπa
2 i(t) cos(θ(t)) #» uz.
L’application de la loi du moment cinétique scalaire par rapport à Oz conduit à :
J ¨
θ(t) + mga sin(θ(t)) − NBeπa
2 i(t) cos(θ(t)) = 0.
5. En remplaçant i(t) par son expression dans l’expression ci-dessus, on obtient :
J ¨
θ(t) + mga sin(θ(t)) +
N
2 B
2
e π
2 a
4
R
˙
θ(t) cos
2 (θ(t)) = 0.
La linéarisation de cette équation dans le cadre des mouvements de faible amplitude amène à :
¨
θ(t) +
mga
J
θ(t) +
N
2 B
2
e π
2 a
4
RJ
˙
θ(t) = 0.
6. Nous reconnaissons l’équation d’un oscillateur amorti. Le retour le plus rapide de la couronne vers sa
position d’équilibre correspond au régime critique, soit à Δ =
N
2 B
2
e π
2 a
4
RJ
2
− 4
mga
J
= 0. On en
déduit donc Be,c =
1
Nπa 2
√
2RJω0 = 0,14 T.
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