606 Chapitre 22
Circuit mobile dans un champ stationnaire
7. En moyenne sur une période : u(t)i(t) = Ri
2 + αv
2 . On pourrait définir un rendement énergétique
moyen pour ce haut-parleur : η =
αv
2
u(t)i(t)
.
8. a. Équation électrique : u = (R + jLω)i − Beav.
Équation mécanique : (mjω +
k
jω
+ α)v = −aBei.
b. On déduit de la seconde équation v =
−aBei
mjω +
k
jω
+ α
, qu’on réinjecte dans la première. On obtient
alors finalement :
u =
⎛
⎜
⎝ R + jLω +
a
2 B
2
e
mjω +
k
jω
+ α
⎞
⎟
⎠ i.
Nous voyons ainsi que Z e = R + jLω, et Z m =
a
2 B
2
e
mjω +
k
jω
+ α
. En identifiant l’expression de Z m
avec celle donnée dans l’énoncé, nous aboutissons à : Rm =
a
2 B
2
e
α
, Lm =
a
2 B
2
e
k
et Cm =
m
B
2
e a 2 .
c. Y m =
1
Zm
=
1
Rm
+
1
jLmω
+jCmω est l’admittance d’un circuit (Rm, Cm, Lm) parallèle. Le schéma équivalent au haut-parleur
est alors représenté sur le circuit ci-contre.
u(t)
R
L
Rm
Cm
Lm
Exercice 22.6
1. À cause du mouvement de la spire, le flux du champ magnétique à travers cette spire varie au cours
du temps. D’après la loi de Faraday, il y a donc apparition d’une f.e.m et d’un courant induits dans
cette spire.
2. Le flux magnétique s’écrit : Φ(t) =
#»
Be · #» n = Beπa
2 cos(θ(t)). La loi de
faraday amène à :
e(t) = −
dΦ(t)
dt
= Beπa
2 ˙
θ(t) sin(θ(t)) = Beπa
2 ω0 sin(ω0t).
Le circuit équivalent est représenté ci-contre.
On déduit de la loi de maille l’expression de i(t) :
i(t) =
Beπa
2 ω0
R
sin(ω0t).
La f.e.m variant de façon sinusoïdale, on a effectivement bien réalisé un
GRS.
e(t)
i(t)
R
3. La puissance dissipée par effet Joule dans la spire est PJ (t) = Ri
2 (t) =
(Beπa
2 ω0)
2
R
sin
2 (ω0t).
Sa valeur moyenne temporelle est alors PJ =
(Beπa
2 ω0)
2
2R
.
4. La spire en rotation dans ce champ magnétique uniforme peut être assimilée à un dipôle magnétique
#»
m = iπa
2 #» n plongé dans un champ magnétique uniforme
#»
Be.
Elle subit un couple de moment
#»
Γ = #»
m ∧
#»
Be = −iπa
2 Be sin(ω0t) #» uz = −
(Beπa
2 )
2 ω0
R
sin
2 (ω0t) #» uz, qui
tendra à freiner sa rotation. Pour maintenir sa vitesse constante, le moteur doit donc exercer sur cette
spire le couple moteur
#»
Γm = −
#»
Γ =
(Beπa
2 )
2 ω0
R
sin
2 (ω0t) #» uz.
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Circuit mobile dans un champ stationnaire
7. En moyenne sur une période : u(t)i(t) = Ri
2 + αv
2 . On pourrait définir un rendement énergétique
moyen pour ce haut-parleur : η =
αv
2
u(t)i(t)
.
8. a. Équation électrique : u = (R + jLω)i − Beav.
Équation mécanique : (mjω +
k
jω
+ α)v = −aBei.
b. On déduit de la seconde équation v =
−aBei
mjω +
k
jω
+ α
, qu’on réinjecte dans la première. On obtient
alors finalement :
u =
⎛
⎜
⎝ R + jLω +
a
2 B
2
e
mjω +
k
jω
+ α
⎞
⎟
⎠ i.
Nous voyons ainsi que Z e = R + jLω, et Z m =
a
2 B
2
e
mjω +
k
jω
+ α
. En identifiant l’expression de Z m
avec celle donnée dans l’énoncé, nous aboutissons à : Rm =
a
2 B
2
e
α
, Lm =
a
2 B
2
e
k
et Cm =
m
B
2
e a 2 .
c. Y m =
1
Zm
=
1
Rm
+
1
jLmω
+jCmω est l’admittance d’un circuit (Rm, Cm, Lm) parallèle. Le schéma équivalent au haut-parleur
est alors représenté sur le circuit ci-contre.
u(t)
R
L
Rm
Cm
Lm
Exercice 22.6
1. À cause du mouvement de la spire, le flux du champ magnétique à travers cette spire varie au cours
du temps. D’après la loi de Faraday, il y a donc apparition d’une f.e.m et d’un courant induits dans
cette spire.
2. Le flux magnétique s’écrit : Φ(t) =
#»
Be · #» n = Beπa
2 cos(θ(t)). La loi de
faraday amène à :
e(t) = −
dΦ(t)
dt
= Beπa
2 ˙
θ(t) sin(θ(t)) = Beπa
2 ω0 sin(ω0t).
Le circuit équivalent est représenté ci-contre.
On déduit de la loi de maille l’expression de i(t) :
i(t) =
Beπa
2 ω0
R
sin(ω0t).
La f.e.m variant de façon sinusoïdale, on a effectivement bien réalisé un
GRS.
e(t)
i(t)
R
3. La puissance dissipée par effet Joule dans la spire est PJ (t) = Ri
2 (t) =
(Beπa
2 ω0)
2
R
sin
2 (ω0t).
Sa valeur moyenne temporelle est alors PJ =
(Beπa
2 ω0)
2
2R
.
4. La spire en rotation dans ce champ magnétique uniforme peut être assimilée à un dipôle magnétique
#»
m = iπa
2 #» n plongé dans un champ magnétique uniforme
#»
Be.
Elle subit un couple de moment
#»
Γ = #»
m ∧
#»
Be = −iπa
2 Be sin(ω0t) #» uz = −
(Beπa
2 )
2 ω0
R
sin
2 (ω0t) #» uz, qui
tendra à freiner sa rotation. Pour maintenir sa vitesse constante, le moteur doit donc exercer sur cette
spire le couple moteur
#»
Γm = −
#»
Γ =
(Beπa
2 )
2 ω0
R
sin
2 (ω0t) #» uz.
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