Corrections 605
Exercice 22.5
1. Le GBF crée au sein du circuit un courant électrique variable qui, grâce à la présence du champ
magnétique et de la force de Laplace en découlant, va mettre en mouvement la barre T . Le mouvement
de cette barre va engendrer un phénomène d’induction qui viendra modifier le courant : existence
d’un couplage électromécanique. Le mouvement de la membrane couplée à la tige engendre des ondes
sonores, via la force de frottement fluide.
2. Le mouvement de la tige est responsable d’une variation
du flux magnétique. Entre t et t + dt, dΦ(t) = −Beav(t)
(attention au sens du vecteur normal à la spire). D’où
e(t) = −
dΦ(t)
dt
= Beav(t).
Le schéma électrique équivalent est donné ci-contre.
La loi des mailles dans ce circuit équivalent conduit à :
u(t) + Beav(t) = Ri(t) + L
di(t)
dt
.
u(t)
R
L
e(t)
i(t)
3. La tige est soumise, selon l’axe horizontal Ox, à la force de Laplace
#»
F La = −i(t)aBe #» ux, à la force de
rappel
#»
R = −k(x(t) − l0) #» ux et à la force de frottement fluide
#»
F f = −α ˙
x #» ux.
La loi de la quantité de mouvement appliquée à la tige et projetée sur Ox conduit à :
m¨ x(t) = −α ˙
x − k(x(t) − l0) − i(t)aBe.
4. Pour l’équation électrique, on obtient : u(t)i(t) + e(t)i(t) = Ri
2 (t) + Li(t)
di(t)
dt
, soit finalement :
u(t)i(t) + e(t)i(t) = Ri
2 (t) +
d
Li
2 (t)
2
dt
.
u(t)i(t) = Pg représente la puissance fournie par le générateur, e(t)i(t) = Pe la puissance fournie
par la f.e.m induite, Ri
2 (t) = PJ la puissance dissipée par effet Joule et
Li
2 (t)
2
= Emag l’énergie
magnétique stockée dans la bobine.
Pour l’équation mécanique, on obtient : mv(t)
dv(t)
dt
= −αv(t)
2 − kv(t)(x(t) − l0) − v(t)i(t)aBe, soit
finalement :
d
mv
2 (t)
2
+
k(x(t) − l0)
2
2
dt
= −αv(t)
2 − v(t)i(t)aBe.
Em =
mv
2 (t)
2
+
k(x(t) − l0)
2
2
représente l’énergie mécanique de la tige, −αv(t)
2 = P f la puissance
dissipée par les forces de frottement (qui correspond à celle fournie à l’air et qui est donc responsable
de la puissance sonore) et −v(t)i(t)aBe = PLa la puissance des forces de Laplace.
5. Nous remarquons que PLa + Pe = 0 : cette équation est traduit l’existence du couplage électromécanique.
6. En combinant les deux bilans de puissance de façon à éliminer le terme v(t)i(t)aBe, on obtient :
u(t)i(t) = Ri
2 + αv
2 +
d
dt
(Em + Emag).
Pour obtenir un bilan énergétique, on intègre entre t = 0 et t. En notant Eg(t) l’énergie fournie par le
générateur entre ces deux instants, EJ (t) et E f (t) les énergies dissipées par effet joule et frottement
entre ces deux instants :
Eg(t) = EJ (t) + E f (t) + Δ(Em + Emag).
L’énergie fournie par le générateur est partiellement dissipée par effet Joule et dans les frottements
fluides, ce qui reste correspond à la variation de l’énergie mécanique et électromagnétique.
La puissance utile correspond à la puissance dissipée dans les frottements fluides.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Exercice 22.5
1. Le GBF crée au sein du circuit un courant électrique variable qui, grâce à la présence du champ
magnétique et de la force de Laplace en découlant, va mettre en mouvement la barre T . Le mouvement
de cette barre va engendrer un phénomène d’induction qui viendra modifier le courant : existence
d’un couplage électromécanique. Le mouvement de la membrane couplée à la tige engendre des ondes
sonores, via la force de frottement fluide.
2. Le mouvement de la tige est responsable d’une variation
du flux magnétique. Entre t et t + dt, dΦ(t) = −Beav(t)
(attention au sens du vecteur normal à la spire). D’où
e(t) = −
dΦ(t)
dt
= Beav(t).
Le schéma électrique équivalent est donné ci-contre.
La loi des mailles dans ce circuit équivalent conduit à :
u(t) + Beav(t) = Ri(t) + L
di(t)
dt
.
u(t)
R
L
e(t)
i(t)
3. La tige est soumise, selon l’axe horizontal Ox, à la force de Laplace
#»
F La = −i(t)aBe #» ux, à la force de
rappel
#»
R = −k(x(t) − l0) #» ux et à la force de frottement fluide
#»
F f = −α ˙
x #» ux.
La loi de la quantité de mouvement appliquée à la tige et projetée sur Ox conduit à :
m¨ x(t) = −α ˙
x − k(x(t) − l0) − i(t)aBe.
4. Pour l’équation électrique, on obtient : u(t)i(t) + e(t)i(t) = Ri
2 (t) + Li(t)
di(t)
dt
, soit finalement :
u(t)i(t) + e(t)i(t) = Ri
2 (t) +
d
Li
2 (t)
2
dt
.
u(t)i(t) = Pg représente la puissance fournie par le générateur, e(t)i(t) = Pe la puissance fournie
par la f.e.m induite, Ri
2 (t) = PJ la puissance dissipée par effet Joule et
Li
2 (t)
2
= Emag l’énergie
magnétique stockée dans la bobine.
Pour l’équation mécanique, on obtient : mv(t)
dv(t)
dt
= −αv(t)
2 − kv(t)(x(t) − l0) − v(t)i(t)aBe, soit
finalement :
d
mv
2 (t)
2
+
k(x(t) − l0)
2
2
dt
= −αv(t)
2 − v(t)i(t)aBe.
Em =
mv
2 (t)
2
+
k(x(t) − l0)
2
2
représente l’énergie mécanique de la tige, −αv(t)
2 = P f la puissance
dissipée par les forces de frottement (qui correspond à celle fournie à l’air et qui est donc responsable
de la puissance sonore) et −v(t)i(t)aBe = PLa la puissance des forces de Laplace.
5. Nous remarquons que PLa + Pe = 0 : cette équation est traduit l’existence du couplage électromécanique.
6. En combinant les deux bilans de puissance de façon à éliminer le terme v(t)i(t)aBe, on obtient :
u(t)i(t) = Ri
2 + αv
2 +
d
dt
(Em + Emag).
Pour obtenir un bilan énergétique, on intègre entre t = 0 et t. En notant Eg(t) l’énergie fournie par le
générateur entre ces deux instants, EJ (t) et E f (t) les énergies dissipées par effet joule et frottement
entre ces deux instants :
Eg(t) = EJ (t) + E f (t) + Δ(Em + Emag).
L’énergie fournie par le générateur est partiellement dissipée par effet Joule et dans les frottements
fluides, ce qui reste correspond à la variation de l’énergie mécanique et électromagnétique.
La puissance utile correspond à la puissance dissipée dans les frottements fluides.
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