604 Chapitre 22
Circuit mobile dans un champ stationnaire
2. Le courant induit va créer un champ magnétique propre dont l’action sera de compenser la variation
du champ ressenti par la spire. On en déduit donc, par la loi de Lenz, i > 0 dans le cas (a), idem pour
le cas (b), i > 0 dans le cas (c) (le flux diminue si on tourne le circuit, d’où la nécessité pour le champ
induit d’être dans la même direction que le champ de l’aimant), et i < 0 dans le cas (d) (le flux change
de signe par rapport au cas précédent).
Exercice 22.4
1. Lorsque la spire va pénétrer dans la région où règne le champ magnétique, elle subira un phénomène
d’induction dû à son mouvement dans
#»
Be : une f.e.m apparaîtra aux bornes de cette spire et le courant
induit qui en résultera tendra par ses effets à contrer ce qui lui a donné naissance (loi de Lenz),
c’est-à-dire à freiner la spire.
2. Pour 0 ≤ x ≤ a , Φ(t) =
gris
#»
Be · d
#»
S = Bex(t)a. Pour a < x ≤ 2a, Φ(t) = Bea(2a − x).
3. D’après la loi de Faraday, pour 0 ≤ x ≤ a , e(t) = −
dΦ(t)
dt
= −Beav(t)
et pour a < x ≤ 2a, e(t) = −
dΦ(t)
dt
= Beav(t). Le schéma électrique
équivalent est donné ci-contre.
On peut donc en déduire l’équation suivante :
pour 0 ≤ x ≤ a, e(t) = Ri(t) = −Beav(t) ;
pour a < x ≤ 2a, e(t) = Ri(t) = Beav(t).
Pour x > 2a, i(t) = 0 : il n’y a plus de phénomène d’induction, la spire
continuera son chemin sans n’être plus freinée.
e(t)
i(t)
R
4. La force de Laplace est donnée par
#»
F La =
spire
Id
# »
OM ∧
#»
Be. Par symétrie, les deux côtés parallèles
à Ox auront des contributions qui s’annuleront. Ne restera plus que les contributions des deux parties
verticales, sachant que l’une d’entre elle sera nulle, car située en dehors du champ.
Il vient ainsi : pour 0 ≤ x ≤ a,
#»
F La = iaBe #» ux, et pour a < x ≤ 2a,
#»
F La = −iaBe #» ux
5. Pour 0 ≤ x ≤ a,
#»
F La = iaBe #» ux, soit
#»
F La = −
B
2
e a
2
R
v(t) #» ux, et pour a < x ≤ 2a,
#»
F La = −iaBe #» ux soit
#»
F La = −
B
2
e a
2
R
v(t) #» ux. En appliquant la loi de la quantité de mouvement à la spire et en la projetant
selon Ox, il vient pour 0 ≤ x ≤ 2a : m
dv(t)
dt
= −
B
2
e a
2
R
v(t), soit
dv(t)
dt
+
B
2
e a
2
mR
v(t) = 0.
On résout cette équation, en posant τ =
mR
B
2
e a 2 : v(t) = v0 exp(−t/τ ).
dx(t)
dt
= v0 exp(−t/τ ), d’où x(t) = v0τ (1 − exp(−t/τ )).
x(t) tend donc asymptotiquement vers v0τ =
mRv0
B
2
e a 2 . Si
mRv0
B
2
e a 2 < 2a, c’est-à-dire si B
2
e >
v0mR
2a 3 , la
spire s’arrêtera avant de sortir complètement de la zone de champ.
Dans le cas où la spire sort de cette zone, elle en sort pour t1 tel que v0τ (1 − exp(−t1/τ )) = 2a, soit
exp(−t1/τ ) = 1 −
2a
v0τ
. La vitesse à cet instant est v f = v(t1) = v0
1 −
2a
v0τ
.
6. On multiplie l’équation électrique par i : e(t)i(t) = Ri(t)
2 = ∓Beav(t)i(t), et l’équation mécanique par
v(t) : mv(t)
dv(t)
dt
= ±iaBev(t) = −Ri(t), soit
dEc
dt
+ Ri
2 = 0, avec Ec =
1
2
mv
2 énergie cinétique de la
spire. Si on intègre cette équation entre t = 0 et t = t1, on obtient Ec(t1) − Ec(0) = −
t 1
0
Ri
2 dt, soit
Ec(0) = Ec(t1) + EJ , avec EJ l’énergie dissipée par effet Joule dans la résistance.
L’énergie initiale se répartit donc entre l’énergie cinétique à l’instant t1 et l’énergie dissipée par effet
Joule dans la résistance.
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