Corrections 603
Exercice 22.2
1. Il y a continuité de la tension aux bornes du condensateur. Pour t = 0
− , u(0
− ) = E, soit par continuité,
u(0
+ ) = E.
2. Entre l’instant t et l’instant t + dt, la tige s’est déplacée de v(t)dt, ce
qui induit une variation du flux magnétique à travers le circuit de :
dΦ(t) = −Beav(t)dt (le signe moins provenant des orientations respectifs de la surface du circuit, selon − #» uy et du champ magnétique selon
+ #» uy). D’après la loi de Faraday, la f.e.m e(t) induite dans le circuit
s’écrit e(t) = −
dΦ(t)
dt
= +Beav(t).
Le schéma électrique équivalent est représenté ci-contre.
L’application de la loi des mailles amène alors à :
e(t) = +Beav(t) = Ri(t) +
q(t)
C
avec i(t) =
dq(t)
dt
.
En dérivant cette équation, on aboutit à Bea
dv(t)
dt
=
i(t)
C
+ R
di(t)
dt
.
C
R
e(t)
i(t)
3. La force de Laplace s’exerçant sur la tige s’écrit
#»
F La = ia #» uz ∧ Be #» uy = −iaBe #» ux. La loi de la quantité
de mouvement appliquée à la tige et projetée sur Ox amène ainsi à : m
dv(t)
dt
= −i(t)aBe.
4. On aboutit alors à :
di(t)
dt
+ i
1
RC
+
(aBe)
2
mR
= 0.
En considérant l’équation électrique e(t) = +Beav(t) = Ri(t) +
q(t)
C
pour t = 0
+ , il vient :
Beav0 = Ri(0
+ ) − E, soit i(0
+ ) =
Beav0 + E
R
. On introduit le temps caractéristique τ de l’évolution
temporelle de i(t) par
1
τ
=
1
RC
+
(aBe)
2
mR
. La résolution de l’équation vérifiée par i(t) amène donc à
i(t) = i(0
+ ) exp(−t/τ ) → i lim = 0 pour t τ .
5. m
dv(t)
dt
= −i(0
+ )aBe exp(−t/τ ), soit, en prenant en compte les conditions initiales :
v(t) = Bea
Beav0 + E
mR
τ (exp(−t/τ ) − 1) + v0 → v lim = v0 − Bea
Beav0 + E
mR
τ pour t τ . L’application
numérique amène à v lim = 9 cm · s
−1 .
6. On multiplie l’équation électrique par i : e(t)i(t) = +Beav(t)i(t) = Ri
2 (t) + i(t)
q(t)
C
. Il vient donc
e(t)i(t) = Ri
2 (t) +
1
2C
dq
2 (t)
dt
.
On multiplie l’équation mécanique par v(t) : mv(t)
dv(t)
dt
=
m
2
dv
2 (t)
dt
= −aBei(t)v(t).
Grâce à ces deux équations, on obtient le bilan de puissance suivant :
d(mv
2 /2 + q
2 /(2C))
dt
+ Ri
2 = 0.
Le terme q
2 /(2C) représente l’énergie électrique E el stockée dans la capacité. Ce bilan de puissance
intégré entre t = 0 et l’infini donne : Ec(0) + E el (0) = Ec(∞)+E el (∞)+E Joule avec E Joule =
∞
0
Ri
2 dt
l’énergie dissipée par effet Joule dans la résistance : l’énergie totale initiale est partiellement dissipée
par effet Joule dans la résistance.
Exercice 22.3
1. La spire va être en mouvement dans le champ magnétique de l’aimant, ce qui fait varier le flux de ce
champ à travers la spire et entraîne, d’après la loi de Faraday, l’apparition d’une f.e.m induite e(t) et
d’un courant induit dans la spire.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Exercice 22.2
1. Il y a continuité de la tension aux bornes du condensateur. Pour t = 0
− , u(0
− ) = E, soit par continuité,
u(0
+ ) = E.
2. Entre l’instant t et l’instant t + dt, la tige s’est déplacée de v(t)dt, ce
qui induit une variation du flux magnétique à travers le circuit de :
dΦ(t) = −Beav(t)dt (le signe moins provenant des orientations respectifs de la surface du circuit, selon − #» uy et du champ magnétique selon
+ #» uy). D’après la loi de Faraday, la f.e.m e(t) induite dans le circuit
s’écrit e(t) = −
dΦ(t)
dt
= +Beav(t).
Le schéma électrique équivalent est représenté ci-contre.
L’application de la loi des mailles amène alors à :
e(t) = +Beav(t) = Ri(t) +
q(t)
C
avec i(t) =
dq(t)
dt
.
En dérivant cette équation, on aboutit à Bea
dv(t)
dt
=
i(t)
C
+ R
di(t)
dt
.
C
R
e(t)
i(t)
3. La force de Laplace s’exerçant sur la tige s’écrit
#»
F La = ia #» uz ∧ Be #» uy = −iaBe #» ux. La loi de la quantité
de mouvement appliquée à la tige et projetée sur Ox amène ainsi à : m
dv(t)
dt
= −i(t)aBe.
4. On aboutit alors à :
di(t)
dt
+ i
1
RC
+
(aBe)
2
mR
= 0.
En considérant l’équation électrique e(t) = +Beav(t) = Ri(t) +
q(t)
C
pour t = 0
+ , il vient :
Beav0 = Ri(0
+ ) − E, soit i(0
+ ) =
Beav0 + E
R
. On introduit le temps caractéristique τ de l’évolution
temporelle de i(t) par
1
τ
=
1
RC
+
(aBe)
2
mR
. La résolution de l’équation vérifiée par i(t) amène donc à
i(t) = i(0
+ ) exp(−t/τ ) → i lim = 0 pour t τ .
5. m
dv(t)
dt
= −i(0
+ )aBe exp(−t/τ ), soit, en prenant en compte les conditions initiales :
v(t) = Bea
Beav0 + E
mR
τ (exp(−t/τ ) − 1) + v0 → v lim = v0 − Bea
Beav0 + E
mR
τ pour t τ . L’application
numérique amène à v lim = 9 cm · s
−1 .
6. On multiplie l’équation électrique par i : e(t)i(t) = +Beav(t)i(t) = Ri
2 (t) + i(t)
q(t)
C
. Il vient donc
e(t)i(t) = Ri
2 (t) +
1
2C
dq
2 (t)
dt
.
On multiplie l’équation mécanique par v(t) : mv(t)
dv(t)
dt
=
m
2
dv
2 (t)
dt
= −aBei(t)v(t).
Grâce à ces deux équations, on obtient le bilan de puissance suivant :
d(mv
2 /2 + q
2 /(2C))
dt
+ Ri
2 = 0.
Le terme q
2 /(2C) représente l’énergie électrique E el stockée dans la capacité. Ce bilan de puissance
intégré entre t = 0 et l’infini donne : Ec(0) + E el (0) = Ec(∞)+E el (∞)+E Joule avec E Joule =
∞
0
Ri
2 dt
l’énergie dissipée par effet Joule dans la résistance : l’énergie totale initiale est partiellement dissipée
par effet Joule dans la résistance.
Exercice 22.3
1. La spire va être en mouvement dans le champ magnétique de l’aimant, ce qui fait varier le flux de ce
champ à travers la spire et entraîne, d’après la loi de Faraday, l’apparition d’une f.e.m induite e(t) et
d’un courant induit dans la spire.
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