Exercices 601
Exercice 22.8 Amortissement critique
Arthur enroule un fil conducteur très fin autour d’une couronne de rayon a = 2,5 cm, réalisant ainsi
une très fine bobine de N = 20 spires de résistance R = 0,10 Ω et d’inductance propre négligeable.
L’enroulement constitue un circuit fermé.
•
Oz
×
•
G
θ(t)
#»
B e
#» n
x
y
i(t)
• #» n
z
O
•
a
i(t)
La couronne peut osciller autour de l’axe Oz
sans aucun frottement, notamment au niveau de l’axe.
L’ensemble couronne-fil conducteur possède
une masse m = 10 g et un moment d’inertie J = 9,4 · 10
−6 kg · m
2 par rapport à l’axe
Oz. Son centre de masse est G.
L’accélération de la pesanteur est #» g = −g #» u y
avec g = 9,8 m · s
−2 .
En l’absence de champ magnétique, la couronne oscille de façon quasi-harmonique avec une faible
amplitude θ 0 et une pulsation ω 0 .
Arthur établit à l’instant initial t = 0 un champ magnétique uniforme et stationnaire
#»
B e = B e
#» u y .
1. Appliquer à la couronne la loi du moment cinétique par rapport à l’axe Oz en l’absence de
champ magnétique. En déduire une équation différentielle vérifiée par θ(t) que l’on simplifiera
dans le cadre des oscillations de faible amplitude. Exprimer ω 0 en fonction des données puis la
calculer.
2. Expliquer sans calcul pourquoi le pendule va rapidement s’amortir lors de l’établissement du
champ magnétique.
3. Exprimer la f.e.m induite e(t) apparaissant dans l’enroulement puis l’intensité i(t) du courant
induit en fonction notamment de θ(t) et ˙
θ(t).
4. Exprimer le moment du couple supplémentaire s’exerçant sur la couronne en fonction de i(t),
θ(t) et des données. On rappelle qu’un circuit de moment magnétique
# »
M plongé dans un champ
magnétique uniforme et stationnaire
#»
B subit un couple de moment
#»
Γ =
# »
M ∧
#»
B. Appliquer
alors la loi du moment cinétique et en déduire une nouvelle équation différentielle liant i(t) et
θ(t).
5. En déduire l’équation différentielle vérifiée par θ(t) que l’on simplifiera dans le cadre des oscillations de faible amplitude.
6. Quel champ magnétique B e,c doit être appliqué pour un retour le plus rapide de la couronne
vers sa position d’équilibre ?
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Exercice 22.8 Amortissement critique
Arthur enroule un fil conducteur très fin autour d’une couronne de rayon a = 2,5 cm, réalisant ainsi
une très fine bobine de N = 20 spires de résistance R = 0,10 Ω et d’inductance propre négligeable.
L’enroulement constitue un circuit fermé.
•
Oz
×
•
G
θ(t)
#»
B e
#» n
x
y
i(t)
• #» n
z
O
•
a
i(t)
La couronne peut osciller autour de l’axe Oz
sans aucun frottement, notamment au niveau de l’axe.
L’ensemble couronne-fil conducteur possède
une masse m = 10 g et un moment d’inertie J = 9,4 · 10
−6 kg · m
2 par rapport à l’axe
Oz. Son centre de masse est G.
L’accélération de la pesanteur est #» g = −g #» u y
avec g = 9,8 m · s
−2 .
En l’absence de champ magnétique, la couronne oscille de façon quasi-harmonique avec une faible
amplitude θ 0 et une pulsation ω 0 .
Arthur établit à l’instant initial t = 0 un champ magnétique uniforme et stationnaire
#»
B e = B e
#» u y .
1. Appliquer à la couronne la loi du moment cinétique par rapport à l’axe Oz en l’absence de
champ magnétique. En déduire une équation différentielle vérifiée par θ(t) que l’on simplifiera
dans le cadre des oscillations de faible amplitude. Exprimer ω 0 en fonction des données puis la
calculer.
2. Expliquer sans calcul pourquoi le pendule va rapidement s’amortir lors de l’établissement du
champ magnétique.
3. Exprimer la f.e.m induite e(t) apparaissant dans l’enroulement puis l’intensité i(t) du courant
induit en fonction notamment de θ(t) et ˙
θ(t).
4. Exprimer le moment du couple supplémentaire s’exerçant sur la couronne en fonction de i(t),
θ(t) et des données. On rappelle qu’un circuit de moment magnétique
# »
M plongé dans un champ
magnétique uniforme et stationnaire
#»
B subit un couple de moment
#»
Γ =
# »
M ∧
#»
B. Appliquer
alors la loi du moment cinétique et en déduire une nouvelle équation différentielle liant i(t) et
θ(t).
5. En déduire l’équation différentielle vérifiée par θ(t) que l’on simplifiera dans le cadre des oscillations de faible amplitude.
6. Quel champ magnétique B e,c doit être appliqué pour un retour le plus rapide de la couronne
vers sa position d’équilibre ?
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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