58 Chapitre 2
Propagation et superposition des signaux
2. La longueur d’onde λ représente sa période spatiale et d’après le graphe, λ = 60 m. Nous pouvons
trouver la vitesse de propagation en observant le décalage des deux courbes entre les instants t1 et t2 :
c =
Δx
t2 − t1
= 10 m · s
−1 . Sa période est donc T =
λ
c
= 6,0 s.
3. Nous remarquons qu’en x = 0, t = 0, y(0, 0) = 0
et que y(x, t) est décroissante en x = 0 à l’instant
initial.
Nous cherchons donc une forme en sinus et
compte tenu de la décroissance en x = 0, nous
choisissons :
y(x, t) = 20 sin(ωt − kx) car l’amplitude mesurée
sur le graphe est de 20 m. Nous avons alors :
ω =
2π
T
= 1,0 rad · s
−1 et k =
2π
λ
= 0,10 rad/m.
4. La houle ne les éloigne pas l’une de l’autre ; elle
n’auront qu’un mouvement vertical et non un
mouvement horizontal. Nous avons
y1(t) = 20 sin(ωt) et y2(t) = 20 sin(ωt − 0,52), cf.
graphe ci-contre.
0
2
4
6
8
10
12
14
t (s)
−20
−10
0
10
20
y (m)
y 1 (t)
y 2 (t)
Exercice 2.10
1. La fondamentale correspond à λ/2 = L (ondes stationnaires le long de la corde), soit λ = 2L = 130 cm,
d’où c = λf = 321 m · s
−1 .
2. T = c
2 μ = 56,8 N.
3. ΔL = L0αΔθ et L0 =
L
1 + αθ
= 65,0 cm, d’où ΔL = 9,75 · 10
−5 m. Avec cette nouvelle longueur de
corde, la fréquence du fondamental ne varie pas de façon significative.
4. f =
T − EsβΔθ
μ
1
2L
= 246 Hz. Marco n’a donc pas de soucis à se faire.
Exercice 2.11
1. Sur les deux spectres fréquentiels, nous voyons clairement la différence entre le bruit du vent, qui
présente un caractère aléatoire, avec une répartition des fréquences très étalée et le chant des dunes,
qui présente des pics clairement séparés.
2. En raisonnant sur les dimensions, T
−1 = L
a T
−2a L
b , soit −1 = −2a et a + b = 0, d’où a = 0,5 et
b = −0,5. On peut donc écrire f = 0,4
g
d
.
3. d =
(0,4)
2 g
f 2
et la lecture du spectre nous permet d’obtenir f = 1,2 · 10
2 Hz, soit d = 0,11 mm.
4. a. Il s’agit de deux ondes progressives harmoniques se propageant dans la direction de l’axe des
abscisses x dans le sens des x croissants à la même vitesse c =
ω
k
. Les deux ondes ont la même
pulsation, elles ont comme amplitudes respectivement A1 et A2 et sont déphasées de ϕ.
b. La représentation de Fresnel est dessinée ci-contre :
partagelivrescpge.blogspot.com
Propagation et superposition des signaux
2. La longueur d’onde λ représente sa période spatiale et d’après le graphe, λ = 60 m. Nous pouvons
trouver la vitesse de propagation en observant le décalage des deux courbes entre les instants t1 et t2 :
c =
Δx
t2 − t1
= 10 m · s
−1 . Sa période est donc T =
λ
c
= 6,0 s.
3. Nous remarquons qu’en x = 0, t = 0, y(0, 0) = 0
et que y(x, t) est décroissante en x = 0 à l’instant
initial.
Nous cherchons donc une forme en sinus et
compte tenu de la décroissance en x = 0, nous
choisissons :
y(x, t) = 20 sin(ωt − kx) car l’amplitude mesurée
sur le graphe est de 20 m. Nous avons alors :
ω =
2π
T
= 1,0 rad · s
−1 et k =
2π
λ
= 0,10 rad/m.
4. La houle ne les éloigne pas l’une de l’autre ; elle
n’auront qu’un mouvement vertical et non un
mouvement horizontal. Nous avons
y1(t) = 20 sin(ωt) et y2(t) = 20 sin(ωt − 0,52), cf.
graphe ci-contre.
0
2
4
6
8
10
12
14
t (s)
−20
−10
0
10
20
y (m)
y 1 (t)
y 2 (t)
Exercice 2.10
1. La fondamentale correspond à λ/2 = L (ondes stationnaires le long de la corde), soit λ = 2L = 130 cm,
d’où c = λf = 321 m · s
−1 .
2. T = c
2 μ = 56,8 N.
3. ΔL = L0αΔθ et L0 =
L
1 + αθ
= 65,0 cm, d’où ΔL = 9,75 · 10
−5 m. Avec cette nouvelle longueur de
corde, la fréquence du fondamental ne varie pas de façon significative.
4. f =
T − EsβΔθ
μ
1
2L
= 246 Hz. Marco n’a donc pas de soucis à se faire.
Exercice 2.11
1. Sur les deux spectres fréquentiels, nous voyons clairement la différence entre le bruit du vent, qui
présente un caractère aléatoire, avec une répartition des fréquences très étalée et le chant des dunes,
qui présente des pics clairement séparés.
2. En raisonnant sur les dimensions, T
−1 = L
a T
−2a L
b , soit −1 = −2a et a + b = 0, d’où a = 0,5 et
b = −0,5. On peut donc écrire f = 0,4
g
d
.
3. d =
(0,4)
2 g
f 2
et la lecture du spectre nous permet d’obtenir f = 1,2 · 10
2 Hz, soit d = 0,11 mm.
4. a. Il s’agit de deux ondes progressives harmoniques se propageant dans la direction de l’axe des
abscisses x dans le sens des x croissants à la même vitesse c =
ω
k
. Les deux ondes ont la même
pulsation, elles ont comme amplitudes respectivement A1 et A2 et sont déphasées de ϕ.
b. La représentation de Fresnel est dessinée ci-contre :
partagelivrescpge.blogspot.com