Exercices 597
y
x
Oz x(t)
a
a
•
#»
B e
•
Elle rentre alors à l’instant t = 0 dans une
région comprise entre x = 0 et x = a où
règne un champ magnétique uniforme et permanent
#»
B e = B e
#» u z (région en gris sur la
figure).
La position de la spire est repérée par l’abscisse x(t) définie sur la figure. Initialement,
x(0) = 0.
L’inductance propre de la spire est négligée.
1. Prévoir sans calcul l’évolution du mouvement de la spire lorsqu’elle pénètre dans la région de
champ magnétique
#»
B e .
2. Calculer le flux Φ(t) de
#»
B e à travers la spire dans les cas 0 ≤ x ≤ a et a < x ≤ 2a.
3. Exprimer la f.e.m induite e(t) dans la spire en fonction de a, B e et v(t) = ˙
x(t).
Représenter alors le schéma électrique équivalent à la spire partiellement plongée dans le champ
magnétique
#»
B e et en déduire une équation liant l’intensité i(t) du courant induit dans la spire
à la vitesse v(t) de déplacement de celle-ci. Que se passe-t-il lorsque x > 2a ?
4. Calculer la force de Laplace qui s’exerce sur la spire. Appliquer alors la loi de la résultante
cinétique à la spire et en déduire une nouvelle équation différentielle liant i(t) et v(t).
5. En déduire une équation différentielle vérifiée par v(t). On pourra poser τ =
Rm
B 2
e a 2 . Déterminer
v(t) puis x(t). À quelle condition la spire sort-elle de la zone de champ magnétique ? À quelle
vitesse se déplace-t-elle alors après être sortie totalement de la zone de champ magnétique ?
6. Proposer un bilan énergétique de la traversée. Qu’est devenue l’énergie cinétique perdue par la
spire ?
Exercice 22.5 #Haut-Parleur
Étudiante en PTSI, Bianca réalise un montage de principe de son tweeter (haut-parleur restituant
les sons aigus) en s’inspirant des rails de Laplace.
k, l 0
O
u(t)
R
L
T
• #»
B e
i(t)
a
x
y
•
z
× #» g
La tige T de masse m est posée sur les rails
distants de a et reliée à un point fixe O par
l’intermédiaire d’un ressort de raideur k et
de longueur à vide l 0 . Sa position est repérée
par son abscisse x(t) par rapport à O. T subit
donc une force de rappel −k (x(t) − l 0 ) #» u x .
Nous négligerons tout frottement solide de la tige sur les rails mais tenons compte des frottements
fluides en introduisant la force −α ˙
x #» u x subie par T .
Un GBF impose une tension sinusoïdale u(t) = E cos(ωt) ; il est associé en série avec une résistance
électrique R et une bobine d’inductance propre L qui représentent ici la résistance et l’inductance
propre du circuit complet.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
y
x
Oz x(t)
a
a
•
#»
B e
•
Elle rentre alors à l’instant t = 0 dans une
région comprise entre x = 0 et x = a où
règne un champ magnétique uniforme et permanent
#»
B e = B e
#» u z (région en gris sur la
figure).
La position de la spire est repérée par l’abscisse x(t) définie sur la figure. Initialement,
x(0) = 0.
L’inductance propre de la spire est négligée.
1. Prévoir sans calcul l’évolution du mouvement de la spire lorsqu’elle pénètre dans la région de
champ magnétique
#»
B e .
2. Calculer le flux Φ(t) de
#»
B e à travers la spire dans les cas 0 ≤ x ≤ a et a < x ≤ 2a.
3. Exprimer la f.e.m induite e(t) dans la spire en fonction de a, B e et v(t) = ˙
x(t).
Représenter alors le schéma électrique équivalent à la spire partiellement plongée dans le champ
magnétique
#»
B e et en déduire une équation liant l’intensité i(t) du courant induit dans la spire
à la vitesse v(t) de déplacement de celle-ci. Que se passe-t-il lorsque x > 2a ?
4. Calculer la force de Laplace qui s’exerce sur la spire. Appliquer alors la loi de la résultante
cinétique à la spire et en déduire une nouvelle équation différentielle liant i(t) et v(t).
5. En déduire une équation différentielle vérifiée par v(t). On pourra poser τ =
Rm
B 2
e a 2 . Déterminer
v(t) puis x(t). À quelle condition la spire sort-elle de la zone de champ magnétique ? À quelle
vitesse se déplace-t-elle alors après être sortie totalement de la zone de champ magnétique ?
6. Proposer un bilan énergétique de la traversée. Qu’est devenue l’énergie cinétique perdue par la
spire ?
Exercice 22.5 #Haut-Parleur
Étudiante en PTSI, Bianca réalise un montage de principe de son tweeter (haut-parleur restituant
les sons aigus) en s’inspirant des rails de Laplace.
k, l 0
O
u(t)
R
L
T
• #»
B e
i(t)
a
x
y
•
z
× #» g
La tige T de masse m est posée sur les rails
distants de a et reliée à un point fixe O par
l’intermédiaire d’un ressort de raideur k et
de longueur à vide l 0 . Sa position est repérée
par son abscisse x(t) par rapport à O. T subit
donc une force de rappel −k (x(t) − l 0 ) #» u x .
Nous négligerons tout frottement solide de la tige sur les rails mais tenons compte des frottements
fluides en introduisant la force −α ˙
x #» u x subie par T .
Un GBF impose une tension sinusoïdale u(t) = E cos(ωt) ; il est associé en série avec une résistance
électrique R et une bobine d’inductance propre L qui représentent ici la résistance et l’inductance
propre du circuit complet.
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