596 Chapitre 22
Circuit mobile dans un champ stationnaire
À l’instant initial t = 0, l’interrupteur à deux voies bascule instantanément en position 2. À cet
instant, la vitesse de la tige est v 0 = 10 cm · s
−1 .
On néglige tout frottement ainsi que le phénomène d’auto-induction. L’accélération de la pesanteur
est g = 9,8 m · s
−2 .
1. Quelle est la tension u(0
+ ) aux bornes du condensateur juste après la bascule de l’interrupteur ?
2. Exprimer la f.e.m induite dans le circuit en fonction de B e , a et de la vitesse v(t) de la tige.
Représenter le schéma électrique équivalent au dispositif et en déduire une équation différentielle
reliant i(t) et v(t) (équation électrique).
3. Exprimer la force de Laplace s’exerçant sur la tige puis appliquer à celle-ci la loi de la résultante cinétique. En déduire une deuxième équation différentielle couplant i(t) et v(t) (équation
mécanique).
4. Déduire du système couplé une équation différentielle vérifiée par i(t) et mettre en évidence
un temps caractéristique τ que l’on exprimera en fonction des données. Résoudre l’équation
différentielle après avoir précisé la valeur initiale i(0). Montrer que i(t) tend vers une valeur
limite i lim que l’on précisera.
5. En déduire l’expression de v(t). Montrer que la vitesse de la tige tend vers une valeur limite
v lim que l’on calculera.
6. Faire un bilan énergétique de l’opération « coup de frein ».
Exercice 22.3 Le sens de la modération
Une spire conductrice carrée est mise en mouvement en présence d’un aimant permanent dont le
pôle nord est grisé sur la figure.
×
• i
S N
Cas (a)
×
• i
Cas (b)
×
• i
• Oz
Cas (c)
×
• i
• Oz
Cas (d)
Le plan de la spire est perpendiculaire au plan de la figure, son orientation étant précisée : i
représente l’éventuel courant circulant dans la spire et dont le signe reste à déterminer. Dans les
cas (a) et (b), un opérateur déplace la spire en translation dans le sens de la flèche. Dans les cas (c)
et (d), l’opérateur fait subir une rapide rotation de la spire autour de l’axe Oz d’un angle inférieur
à 90° et dans le sens de la flèche (voir figure).
1. Expliquer qualitativement l’apparition d’un courant induit i dans la spire mise en mouvement.
2. Préciser le signe de i dans les quatre cas.
Exercice 22.4 Couper à travers champ
Une spire conductrice carrée de côté a, de résistance R et de masse m glisse dans le plan horizontal
xOy sur un dispositif à coussin d’air de telle sorte que sa vitesse #» v 0 = v 0
#» u x est constante : la spire
ne subit aucun frottement.
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Circuit mobile dans un champ stationnaire
À l’instant initial t = 0, l’interrupteur à deux voies bascule instantanément en position 2. À cet
instant, la vitesse de la tige est v 0 = 10 cm · s
−1 .
On néglige tout frottement ainsi que le phénomène d’auto-induction. L’accélération de la pesanteur
est g = 9,8 m · s
−2 .
1. Quelle est la tension u(0
+ ) aux bornes du condensateur juste après la bascule de l’interrupteur ?
2. Exprimer la f.e.m induite dans le circuit en fonction de B e , a et de la vitesse v(t) de la tige.
Représenter le schéma électrique équivalent au dispositif et en déduire une équation différentielle
reliant i(t) et v(t) (équation électrique).
3. Exprimer la force de Laplace s’exerçant sur la tige puis appliquer à celle-ci la loi de la résultante cinétique. En déduire une deuxième équation différentielle couplant i(t) et v(t) (équation
mécanique).
4. Déduire du système couplé une équation différentielle vérifiée par i(t) et mettre en évidence
un temps caractéristique τ que l’on exprimera en fonction des données. Résoudre l’équation
différentielle après avoir précisé la valeur initiale i(0). Montrer que i(t) tend vers une valeur
limite i lim que l’on précisera.
5. En déduire l’expression de v(t). Montrer que la vitesse de la tige tend vers une valeur limite
v lim que l’on calculera.
6. Faire un bilan énergétique de l’opération « coup de frein ».
Exercice 22.3 Le sens de la modération
Une spire conductrice carrée est mise en mouvement en présence d’un aimant permanent dont le
pôle nord est grisé sur la figure.
×
• i
S N
Cas (a)
×
• i
Cas (b)
×
• i
• Oz
Cas (c)
×
• i
• Oz
Cas (d)
Le plan de la spire est perpendiculaire au plan de la figure, son orientation étant précisée : i
représente l’éventuel courant circulant dans la spire et dont le signe reste à déterminer. Dans les
cas (a) et (b), un opérateur déplace la spire en translation dans le sens de la flèche. Dans les cas (c)
et (d), l’opérateur fait subir une rapide rotation de la spire autour de l’axe Oz d’un angle inférieur
à 90° et dans le sens de la flèche (voir figure).
1. Expliquer qualitativement l’apparition d’un courant induit i dans la spire mise en mouvement.
2. Préciser le signe de i dans les quatre cas.
Exercice 22.4 Couper à travers champ
Une spire conductrice carrée de côté a, de résistance R et de masse m glisse dans le plan horizontal
xOy sur un dispositif à coussin d’air de telle sorte que sa vitesse #» v 0 = v 0
#» u x est constante : la spire
ne subit aucun frottement.
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