580 Chapitre 21
Circuit fixe dans un champ variable
4. Φ2(t) est nécessairement continu, car une discontinuité de Φ2(t) conduirait à une f.e.m e2(t) infinie.
Φ2(0
− ) = Mi1(0
− ) = Φ2(0
+ ) = L2i2(0
+ ), soit i2(0
+ ) =
M
L2
i1(0
− ).
5. Pour t > 0, l’équation satisfaite par i2(t) est celle de l’intensité dans un simple circuit RL, l’intensité
du primaire étant nulle (on remarque que u1 bascule quasi-instantanément t = 0), il n’y a plus de
couplage par mutuelle. On a donc L2
di2(t)
dt
+ R2i2(t) = 0.
Cette équation se résout en i2(t) = i2(0
+ ) exp(−t/τ2) avec τ2 =
L2
R2
et i2(0
+ ) =
M
L2
E
R1 + Rg
. Nous
avons u2,max =
M
L2
R2E
R1 + Rg
= 11,7 V et pour t = τ2, u2(τ2) = u2,max/e, soit par lecture graphique,
τ2 = 3,3 ms, d’où L2 = 0,33 H et M = 0,54 H. Nous en déduisons donc L1 = 0,87 H.
Exercice 21.5
1. On détermine d’après l’oscillogramme la période utilisée par Sophie : T = 1,4 ms. La fréquence est
donc f = 7,1 · 10
2 Hz.
2. La bobine (2) étant un circuit ouvert, il n’y a pas de courant la parcourant et pour le circuit primaire, tout se passe comme si il n’y avait
pas de circuit secondaire. Le schéma électrique équivalent au circuit
primaire est représenté ci-contre :
e(t)
i1(t)
R
L1
3. Le flux Φ2(t) à travers le secondaire s’écrit de façon générale Φ2 = L2i2 + Mi1. La bobine (2) étant en
circuit ouvert, i2 = 0, soit Φ2 = Mi1 et par suite, u(t) = e2(t) = −
dΦ2
dt
= −M
di1
dt
: l’inductance L2
n’intervient pas dans cette expression car le courant i2 est nul..
4. R = 500 Ω et 2πf L1 = 2,4 Ω. Nous voyons donc qu’à la fréquence de travail, l’influence de l’inductance
L1 dans le circuit primaire est négligeable ; on peut donc écrire i1(t) ≈
e(t)
R
. Il vient par conséquent :
u(t) = −M
di1(t)
dt
≈ −
M
R
de(t)
dt
. Le circuit secondaire réalise donc une dérivation de la tension d’entrée,
ce qui est bien vérifié sur l’oscillogramme, puisque la dérivée d’un signal triangle est un signal créneau.
5. Sur une demi-période, u = umax =
M
R
Δe
T /2
= 2f
M
R
Ecc =
Ucc
2
, d’où M =
RUcc
4fEcc
= 1,4 mH.
Exercice 21.6
1. a. L’ordre de grandeur de l’inductance propre d’une bobine est quelques millihenry, voir dizaines de
millihenry. La valeur trouvée par Sophie nous paraît donc beaucoup trop faible.
b. L’inductance propre d’un circuit possédant N spires est proportionnelle à N
2 . La dépendance en
N donnée par Sophie n’est donc pas bonne.
c. L’unité de μ0 étant le H · m
−1 , l’expression trouvée par Sophie est homogène à des H · m, et non à
des H comme elle devrait l’être. Sophie a donc commis beaucoup d’erreurs !
d. On calcule le flux propre du champ magnétique à travers les N spires de la bobine :
Φp = N Φ1spire = Nπa
2 μ0
N
H
i = L th i, soit L th = μ0
N
2
H
πa
2 = 6,8 mH.
2. a. L’ordre de grandeur obtenue par Sophie est cette fois-ci beaucoup trop grand ! Sophie s’est encore
trompée ! On doit avoir f
2
0 =
1
4π 2 LC
, soit Lex =
1
4π 2 f
2
0 C
= 6,7 mH.
b. Les deux valeurs sont très proches, ce qui veut dire que le modèle de la bobine très longue est
pertinent dans ce cas.
partagelivrescpge.blogspot.com
Circuit fixe dans un champ variable
4. Φ2(t) est nécessairement continu, car une discontinuité de Φ2(t) conduirait à une f.e.m e2(t) infinie.
Φ2(0
− ) = Mi1(0
− ) = Φ2(0
+ ) = L2i2(0
+ ), soit i2(0
+ ) =
M
L2
i1(0
− ).
5. Pour t > 0, l’équation satisfaite par i2(t) est celle de l’intensité dans un simple circuit RL, l’intensité
du primaire étant nulle (on remarque que u1 bascule quasi-instantanément t = 0), il n’y a plus de
couplage par mutuelle. On a donc L2
di2(t)
dt
+ R2i2(t) = 0.
Cette équation se résout en i2(t) = i2(0
+ ) exp(−t/τ2) avec τ2 =
L2
R2
et i2(0
+ ) =
M
L2
E
R1 + Rg
. Nous
avons u2,max =
M
L2
R2E
R1 + Rg
= 11,7 V et pour t = τ2, u2(τ2) = u2,max/e, soit par lecture graphique,
τ2 = 3,3 ms, d’où L2 = 0,33 H et M = 0,54 H. Nous en déduisons donc L1 = 0,87 H.
Exercice 21.5
1. On détermine d’après l’oscillogramme la période utilisée par Sophie : T = 1,4 ms. La fréquence est
donc f = 7,1 · 10
2 Hz.
2. La bobine (2) étant un circuit ouvert, il n’y a pas de courant la parcourant et pour le circuit primaire, tout se passe comme si il n’y avait
pas de circuit secondaire. Le schéma électrique équivalent au circuit
primaire est représenté ci-contre :
e(t)
i1(t)
R
L1
3. Le flux Φ2(t) à travers le secondaire s’écrit de façon générale Φ2 = L2i2 + Mi1. La bobine (2) étant en
circuit ouvert, i2 = 0, soit Φ2 = Mi1 et par suite, u(t) = e2(t) = −
dΦ2
dt
= −M
di1
dt
: l’inductance L2
n’intervient pas dans cette expression car le courant i2 est nul..
4. R = 500 Ω et 2πf L1 = 2,4 Ω. Nous voyons donc qu’à la fréquence de travail, l’influence de l’inductance
L1 dans le circuit primaire est négligeable ; on peut donc écrire i1(t) ≈
e(t)
R
. Il vient par conséquent :
u(t) = −M
di1(t)
dt
≈ −
M
R
de(t)
dt
. Le circuit secondaire réalise donc une dérivation de la tension d’entrée,
ce qui est bien vérifié sur l’oscillogramme, puisque la dérivée d’un signal triangle est un signal créneau.
5. Sur une demi-période, u = umax =
M
R
Δe
T /2
= 2f
M
R
Ecc =
Ucc
2
, d’où M =
RUcc
4fEcc
= 1,4 mH.
Exercice 21.6
1. a. L’ordre de grandeur de l’inductance propre d’une bobine est quelques millihenry, voir dizaines de
millihenry. La valeur trouvée par Sophie nous paraît donc beaucoup trop faible.
b. L’inductance propre d’un circuit possédant N spires est proportionnelle à N
2 . La dépendance en
N donnée par Sophie n’est donc pas bonne.
c. L’unité de μ0 étant le H · m
−1 , l’expression trouvée par Sophie est homogène à des H · m, et non à
des H comme elle devrait l’être. Sophie a donc commis beaucoup d’erreurs !
d. On calcule le flux propre du champ magnétique à travers les N spires de la bobine :
Φp = N Φ1spire = Nπa
2 μ0
N
H
i = L th i, soit L th = μ0
N
2
H
πa
2 = 6,8 mH.
2. a. L’ordre de grandeur obtenue par Sophie est cette fois-ci beaucoup trop grand ! Sophie s’est encore
trompée ! On doit avoir f
2
0 =
1
4π 2 LC
, soit Lex =
1
4π 2 f
2
0 C
= 6,7 mH.
b. Les deux valeurs sont très proches, ce qui veut dire que le modèle de la bobine très longue est
pertinent dans ce cas.
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