578 Chapitre 21
Circuit fixe dans un champ variable
Corrections
Interro de cours
1. Réponse (c) : il s’agit de la loi de Faraday.
2. Réponse (c) : le flux propre à travers le circuit s’écrit Φp = Li(t). La loi de Faraday donne :
e(t) = −
dΦp
dt
= −L
di(t)
dt
.
3. Réponse (b) : Φ(t) =
#»
Be · a
2 #» n = Be(t)a
2 #» u x · #» n = Be(t)a
2 cos(θ).
4. Réponse (a) : la loi de Faraday donne e(t) = −
dΦ
dt
=
a
2
τ
B0 exp
−
t
τ
puis la loi des mailles dans le
circuit : e(t) = Ri(t). Le signe de i(t) était prévu par la loi de Lenz : i(t) s’oppose par ses effets à la
diminution du flux magnétique à travers le circuit.
5. Réponse (b) : le flux de
#»
B à travers une spire est ϕ = Bπa
2 . Le flux propre est alors Φp = Nϕ = Li.
6. Réponse (b) : écrire la loi des mailles dans chaque circuit, multiplier l’équation du primaire par i1,
celle du secondaire par i2 puis combiner les deux équations. La puissance uei1 fournie par le générateur
sert à compenser la puissance perdue R1i
2
1 + R2i
2
2 dans les résistances et à stocker l’énergie magnétique
1
2
L1i
2
1 +
1
2
L2i
2
2 + Mi1i2
.
7. Réponse (c) : on reprend le système d’équations obtenu en utilisant la loi des mailles. En notation
complexe :
dx
dt
= jωx.
Exercice 21.1
1. a. On choisit l’orientation ci-dessous. Φ1 = NπR
2 #»
B1 · #» n = NπR
2 B1(t) cos(θ).
x
#» n
θ
t
e1(V )
τ
0
−1,0
t
e2(V )
0
1,7
b. D’après la loi de Faraday, e1(t) = −
dΦ1
dt
. On a donc :
— pour t ∈ [0, τ], e1(t) = −NπR
2 B0
τ
cos(θ) = −1,0 V ;
— pour t > τ, e1(t) = 0.
Le graphe est tracé ci-dessus.
2. a. Φ2 = NπR
2 B0 exp(−t/τ ) sin(θ).
b. D’après la loi de Faraday, e2(t) = −
dΦ2
dt
= NπR
2 B0
τ
exp(−t/τ ) sin(θ). Le tracé de e2(t) est réalisé
ci-dessus. e2,max = NπR
2 B0
τ
sin(θ) = 1,7 V.
Exercice 21.2
1. Lorsque l’aimant se déplace, le champ magnétique ressenti au niveau de la spire évolue avec le temps
et le flux Φ de ce champ magnétique à travers la surface de la spire aussi. D’après la loi de Faraday, si
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