56 Chapitre 2
Propagation et superposition des signaux
Exercice 2.3
1. Un nœud de vibration est un point où, pour tout instant t, l’amplitude de l’onde stationnaire est nulle ;
un ventre de vibration est un point où, pour tout t, l’amplitude de l’onde stationnaire est maximale.
2. Une amplitude nulle (nœud) correspond à cos (kxn + ϕ) = 0. On en déduit :
kxn + ϕ =
n +
1
2
π =⇒ xn =
n +
1
2
π
k
−
ϕ
k
=⇒ xn =
n +
1
2
λ
2
−
ϕ
k
avec n ∈ Z.
Une amplitude maximale (ventre) correspond à cos (kx
n + ϕ) = ±1 On en déduit :
kx
n + ϕ = nπ =⇒ x
n = n
π
k
−
ϕ
k
=⇒ x
n = n
λ
2
−
ϕ
k
avec n ∈ Z.
On obtient donc xn+1 − xn =
λ
2
, x
n+1 − x
n =
λ
2
et xn − x
n =
λ
4
: deux nœuds ou deux ventres
successifs sont distants de λ/2, un nœud et un ventre successifs sont distants de λ/4.
3. a. D’après la question précédente, la longueur du tuyau et la longueur d’onde de l’onde stationnaire
sont forcément liées par une relation du type L =
n +
1
2
λ
2
, où n ∈ N. Comme λ =
c
f
où f est
la fréquence de l’onde, les fréquences propres s’écrivent : fn =
n +
1
2
c
2L
avec n ∈ N.
b. La fréquence fondamentale correspond à n = 0 : f0 =
c
4L
= 262 Hz. Le tuyau doit posséder une
longueur L = 32,6 cm pour émettre un Do3.
Exercice 2.4
1. La corde est fixée à ses deux extrémités : pour tout instant t, z(0, t) = z(L, t) = 0.
2. ∀t, z(0, t) = 0 ⇔ cos(ϕ) = 0 : z(x, t) se met sous la forme z(x, t) = z0 sin(kx) cos(ωt + ϕ
).
∀t, z(L, t) = 0 ⇔ sin(kL) = 0 : k ne peut prendre que certaines valeurs quantifiées kn =
nπ
L
avec
n ∈ N
∗ . Nous en déduisons les fréquences propres fn =
ωn
2π
=
ckn
2π
= n
c
2L
.
3. La fréquence f correspond à la fréquence f1 du fondamental, d’où c = 2Lf = 321 m · s
−1 .
Exercice 2.5
1. λ ≈ 600 nm.
2. Chaque goutte d’eau de diamètre d présente dans le nuage va diffracter comme une ouverture circulaire
de même diamètre, dans un cône de demi-angle au sommet θ ≈ λ/d.
3. 6° = 0,1 rad ≈ 2λ/d, soit d ≈ 1,2 · 10
−5 m.
4. La diffraction dépend de la longueur d’onde, le rayon du premier anneau sombre correspond à la
longueur la plus petite, le dernier à la longueur d’onde la plus grande. Près de la couronne, on aura un
anneau sombre pour le violet, l’œil fera la synthèse des longueurs d’onde non éteintes, d’où la couleur
verte. Lorsqu’on s’éloigne, les couleurs autres que le rouge vont s’éteindre avant ce dernier, donc il
restera du rouge à grande distance.
Exercice 2.6
1. em =
1
T
T
0
e(t)dt = U0, car T =
2π
ω
.
2. e eff,AC =
1
T
T
0
E 2 cos 2 (ωt)dt =
E
√
2
, e eff,DC =
1
T
T
0
(E cos(ωt) + U0) 2 dt =
E
2
2
+ U
2
0 .
3. e eff,DC est plus grande que U0 et que e eff,AC . De plus, em = U0 = 3,0 V = E2. On obtient donc :
E1 = 3,3 V = e eff,DC et E3 = 1,4 V = e eff,AC . On vérifie bien que E3 =
E
√
2
, et que E1 =
E
2
2
+ U
2
0 .
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Propagation et superposition des signaux
Exercice 2.3
1. Un nœud de vibration est un point où, pour tout instant t, l’amplitude de l’onde stationnaire est nulle ;
un ventre de vibration est un point où, pour tout t, l’amplitude de l’onde stationnaire est maximale.
2. Une amplitude nulle (nœud) correspond à cos (kxn + ϕ) = 0. On en déduit :
kxn + ϕ =
n +
1
2
π =⇒ xn =
n +
1
2
π
k
−
ϕ
k
=⇒ xn =
n +
1
2
λ
2
−
ϕ
k
avec n ∈ Z.
Une amplitude maximale (ventre) correspond à cos (kx
n + ϕ) = ±1 On en déduit :
kx
n + ϕ = nπ =⇒ x
n = n
π
k
−
ϕ
k
=⇒ x
n = n
λ
2
−
ϕ
k
avec n ∈ Z.
On obtient donc xn+1 − xn =
λ
2
, x
n+1 − x
n =
λ
2
et xn − x
n =
λ
4
: deux nœuds ou deux ventres
successifs sont distants de λ/2, un nœud et un ventre successifs sont distants de λ/4.
3. a. D’après la question précédente, la longueur du tuyau et la longueur d’onde de l’onde stationnaire
sont forcément liées par une relation du type L =
n +
1
2
λ
2
, où n ∈ N. Comme λ =
c
f
où f est
la fréquence de l’onde, les fréquences propres s’écrivent : fn =
n +
1
2
c
2L
avec n ∈ N.
b. La fréquence fondamentale correspond à n = 0 : f0 =
c
4L
= 262 Hz. Le tuyau doit posséder une
longueur L = 32,6 cm pour émettre un Do3.
Exercice 2.4
1. La corde est fixée à ses deux extrémités : pour tout instant t, z(0, t) = z(L, t) = 0.
2. ∀t, z(0, t) = 0 ⇔ cos(ϕ) = 0 : z(x, t) se met sous la forme z(x, t) = z0 sin(kx) cos(ωt + ϕ
).
∀t, z(L, t) = 0 ⇔ sin(kL) = 0 : k ne peut prendre que certaines valeurs quantifiées kn =
nπ
L
avec
n ∈ N
∗ . Nous en déduisons les fréquences propres fn =
ωn
2π
=
ckn
2π
= n
c
2L
.
3. La fréquence f correspond à la fréquence f1 du fondamental, d’où c = 2Lf = 321 m · s
−1 .
Exercice 2.5
1. λ ≈ 600 nm.
2. Chaque goutte d’eau de diamètre d présente dans le nuage va diffracter comme une ouverture circulaire
de même diamètre, dans un cône de demi-angle au sommet θ ≈ λ/d.
3. 6° = 0,1 rad ≈ 2λ/d, soit d ≈ 1,2 · 10
−5 m.
4. La diffraction dépend de la longueur d’onde, le rayon du premier anneau sombre correspond à la
longueur la plus petite, le dernier à la longueur d’onde la plus grande. Près de la couronne, on aura un
anneau sombre pour le violet, l’œil fera la synthèse des longueurs d’onde non éteintes, d’où la couleur
verte. Lorsqu’on s’éloigne, les couleurs autres que le rouge vont s’éteindre avant ce dernier, donc il
restera du rouge à grande distance.
Exercice 2.6
1. em =
1
T
T
0
e(t)dt = U0, car T =
2π
ω
.
2. e eff,AC =
1
T
T
0
E 2 cos 2 (ωt)dt =
E
√
2
, e eff,DC =
1
T
T
0
(E cos(ωt) + U0) 2 dt =
E
2
2
+ U
2
0 .
3. e eff,DC est plus grande que U0 et que e eff,AC . De plus, em = U0 = 3,0 V = E2. On obtient donc :
E1 = 3,3 V = e eff,DC et E3 = 1,4 V = e eff,AC . On vérifie bien que E3 =
E
√
2
, et que E1 =
E
2
2
+ U
2
0 .
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