554 Chapitre 20
Champ magnétique et ses actions
Exercice 20.3
1. La force de Laplace sur la tige est
#»
F La = −Ia #» uy ∧
# »
Be, et elle doit être selon + #» uz pour être verticale
ascendante. Il faut donc que
#»
Be = Be #» ux, d’où
#»
F La = IaBe #» uz.
2. La tige quitte le rail si la force de Laplace devient supérieure en norme au poids de la tige, donc si
IaBe > mg. Or I =
E
R
, d’où E > Emin =
Rmg
aBe
= 78 V.
Exercice 20.4
1. On introduit #» uz = #» ux ∧ #» uy.
#»
Γ = −mBe sin(θ) #» uz. Les valeurs de θ correspondant aux positions
d’équilibre sont celles annulant ce moment, soit θ = 0 et θ = π. L’équilibre sera stable pour θ = 0
(position où le dipôle est orienté dans la direction et le sens du champ magnétique) car, si on l’écarte
un peu de cette position, le couple l’y ramènera. Pour θ = π, l’équilibre est instable.
2. L’aiguille est soumise au couple
#»
Γ = −mBe sin(θ) #» uz ≈ −mBeθ #» uz et à son poids et la liaison d’axe dont
les moments par rapport à Oz sont nuls. Le moment cinétique de l’aiguille par rapport à Oz est Lz = J ˙
θ.
L’application de la loi du moment cinétique scalaire par rapport à Oz conduit à : J ¨
θ = −mBeθ, soit
¨
θ + ω
2
0 θ = 0.
3. Ceci est l’équation d’un oscillateur harmonique dont la solution générale est :
θ(t) = A cos(ω0t) + B sin(ω0t). La prise en compte des conditions initiales amène à A = θ0 et Bω0 = 0,
soit finalement : θ(t) = θ0 cos(ω0t).
4. Le champ magnétique total créé par ces deux bobines est
#»
B =
#»
B1 +
#»
B2 c’est-à-dire :
#»
B = B0(cos(ωt) #» ux + sin(ωt) #» uy) = B0 #» u (t) avec #» u (t) un vecteur unitaire tournant autour de + #» uz à
la vitesse angulaire ω. Le champ magnétique est donc un champ tournant autour de Oz à la vitesse
angulaire ω et sa norme est constante, égale à B0.
5. ω = ω0 =
mBe
J
= 2πf , soit m = 4π
2 f
2 J
Be
= 2,5 · 10
−2 A · m
−2 .
Exercice 20.5
1. a. I =
B
μ0n
= 8 · 10
2 A.
b. De tels courants dans des enroulements résistifs feraient fondre les fils. On utilise des matériaux
supraconducteurs, de résistance nulle, pour obtenir de telles intensités.
2. a. On part de la formule précédente B = μ0nI. En considérant les dimensions, nous voyons ainsi que
[B] = [μ0]L
−1 [I]. Or la dimension d’un moment magnétique est [m] = [I]L
2 . Nous en déduisons
[B] = [μ0][m]L
−3 . En comparant avec la formule donnée, nous identifions donc a = 1, b = 1,
c = −3.
b. m =
BT R
3
T
αμ0
≈ 1 · 10
23 A · m
2 .
Exercice 20.6
1. #»
m = IπR
2 #» n avec #» n un vecteur unitaire normal à la spire et dont l’orientation est donnée par celle de
I grâce à la règle du tire-bouchon. m = 3,1 · 10
−4 A · m
2 .
2. Le champ magnétique d’un dipôle est proportionnel à son moment magnétique. Le champ magnétique
de l’aimant à grande distance étant 1 000 fois supérieur à celui de la spire à la même distance, cela
implique que le moment magnétique de l’aimant est aussi 1 000 fois supérieur à celui de la spire, soit
m ≈ 0,3 A · m
2 .
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Champ magnétique et ses actions
Exercice 20.3
1. La force de Laplace sur la tige est
#»
F La = −Ia #» uy ∧
# »
Be, et elle doit être selon + #» uz pour être verticale
ascendante. Il faut donc que
#»
Be = Be #» ux, d’où
#»
F La = IaBe #» uz.
2. La tige quitte le rail si la force de Laplace devient supérieure en norme au poids de la tige, donc si
IaBe > mg. Or I =
E
R
, d’où E > Emin =
Rmg
aBe
= 78 V.
Exercice 20.4
1. On introduit #» uz = #» ux ∧ #» uy.
#»
Γ = −mBe sin(θ) #» uz. Les valeurs de θ correspondant aux positions
d’équilibre sont celles annulant ce moment, soit θ = 0 et θ = π. L’équilibre sera stable pour θ = 0
(position où le dipôle est orienté dans la direction et le sens du champ magnétique) car, si on l’écarte
un peu de cette position, le couple l’y ramènera. Pour θ = π, l’équilibre est instable.
2. L’aiguille est soumise au couple
#»
Γ = −mBe sin(θ) #» uz ≈ −mBeθ #» uz et à son poids et la liaison d’axe dont
les moments par rapport à Oz sont nuls. Le moment cinétique de l’aiguille par rapport à Oz est Lz = J ˙
θ.
L’application de la loi du moment cinétique scalaire par rapport à Oz conduit à : J ¨
θ = −mBeθ, soit
¨
θ + ω
2
0 θ = 0.
3. Ceci est l’équation d’un oscillateur harmonique dont la solution générale est :
θ(t) = A cos(ω0t) + B sin(ω0t). La prise en compte des conditions initiales amène à A = θ0 et Bω0 = 0,
soit finalement : θ(t) = θ0 cos(ω0t).
4. Le champ magnétique total créé par ces deux bobines est
#»
B =
#»
B1 +
#»
B2 c’est-à-dire :
#»
B = B0(cos(ωt) #» ux + sin(ωt) #» uy) = B0 #» u (t) avec #» u (t) un vecteur unitaire tournant autour de + #» uz à
la vitesse angulaire ω. Le champ magnétique est donc un champ tournant autour de Oz à la vitesse
angulaire ω et sa norme est constante, égale à B0.
5. ω = ω0 =
mBe
J
= 2πf , soit m = 4π
2 f
2 J
Be
= 2,5 · 10
−2 A · m
−2 .
Exercice 20.5
1. a. I =
B
μ0n
= 8 · 10
2 A.
b. De tels courants dans des enroulements résistifs feraient fondre les fils. On utilise des matériaux
supraconducteurs, de résistance nulle, pour obtenir de telles intensités.
2. a. On part de la formule précédente B = μ0nI. En considérant les dimensions, nous voyons ainsi que
[B] = [μ0]L
−1 [I]. Or la dimension d’un moment magnétique est [m] = [I]L
2 . Nous en déduisons
[B] = [μ0][m]L
−3 . En comparant avec la formule donnée, nous identifions donc a = 1, b = 1,
c = −3.
b. m =
BT R
3
T
αμ0
≈ 1 · 10
23 A · m
2 .
Exercice 20.6
1. #»
m = IπR
2 #» n avec #» n un vecteur unitaire normal à la spire et dont l’orientation est donnée par celle de
I grâce à la règle du tire-bouchon. m = 3,1 · 10
−4 A · m
2 .
2. Le champ magnétique d’un dipôle est proportionnel à son moment magnétique. Le champ magnétique
de l’aimant à grande distance étant 1 000 fois supérieur à celui de la spire à la même distance, cela
implique que le moment magnétique de l’aimant est aussi 1 000 fois supérieur à celui de la spire, soit
m ≈ 0,3 A · m
2 .
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