Corrections 555
Exercice 20.7
1. On applique la loi des mailles dans le circuit et on aboutit à E = RI, soit I = 24 A.
2. La barre sera soumise à la force de Laplace
#»
F La = −Ia #» uy ∧ Be #» uz = −IaBe #» ux. Cette force devant
s’opposer au mouvement de la barre, elle doit être selon − #» ux, donc Be > 0.
3. D’après la question précédente,
#»
F La = −IaBe #» ux et PLa(t) =
#»
F La · #» v (t) = −IaBe ˙
x(t) = −
d(IaBex)
dt
.
4. Les deux masses ont la même vitesse linéaire ˙
x(t) = v(t). L’énergie cinétique à l’instant t de l’ensemble
des deux masses est Ec(t) =
1
2
(m + m
)v
2 (t).
Le système des deux masses est soumis à la force de Laplace ci-dessus, qui dérive de l’énergie potentielle
Ep,La = IaBex, au poids de T qui ne travaille pas, à la réaction des rails qui ne travaille pas (absence
de frottements), et au poids de M qui dérive de l’énergie potentielle Ep,p = m
gzM avec zM = (H − x).
L’application de la loi de l’énergie cinétique entre t = 0 et t amène à :
1
2
(m + m
)(v
2 (t) − v
2
0 ) + IaBex(t) + m
g(H − x(t) − H) = 0, soit :
1
2
(m + m
)(v
2 (t) − v
2
0 ) = (m
g − IaBe)x(t), ce qui sous-entend que Be >
m
g
Ia
.
5. On tire de l’équation précédente la relation v
2 (t) = v
2
0 + 2
m
g − IaBe
m + m x(t). On cherche Be pour que
cette vitesse s’annule pour x f =
1
2
(m + m
)
v
2
0
IaBe − m g
< H, soit Be >
m
g
Ia
+
1
2
(m + m
)v
2
0
IaH
= 25 mT.
Cette valeur de Be est facilement réalisable à partir d’un aimant permanent.
Exercice 20.8
1. Le champ magnétique total créé par le stator s’écrit
#»
B =
#»
B1 +
#»
B2, c’est-à-dire :
#»
B = B0(cos(ωt) #» ux + sin(ωt) #» uy) = B0 #» u (t) avec #» u (t) un vecteur unitaire tournant autour de + #» uz à
la vitesse angulaire ω. Le champ magnétique est donc un champ tournant autour de Oz à la vitesse
angulaire ω, et sa norme est constante, égale à B0.
2.
#»
Γ(t) = m(cos(ω
t − θ0) #» ux + sin(ω
t − θ0) #» uy) ∧ B0(cos(ωt) #» ux + sin(ωt) #» uy).
#»
Γ(t) = mB0(cos(ω
t − θ0) sin(ωt) − sin(ω
t − θ0) cos(ωt)) #» uz = mB0 sin((ω − ω
)t + θ0) #» uz.
Sa valeur moyenne temporelle est nulle si ω
= ω et vaut
#»
Γ m = mB0 sin(θ0) #» uz si ω
= ω : ce moteur ne
peut fonctionner que si le mouvement du rotor est synchrone avec le champ tournant du stator, d’où
l’appellation moteur synchrone.
3. Sachant qu’initialement, ω
= 0 et ω = 0, le couple moyen étant nul, le moteur synchrone ne peut pas
démarrer spontanément : il faut le lancer grâce à un moteur auxiliaire, à une vitesse angulaire initiale
plus grande que ω, de façon à ce que l’accrochage puisse avoir lieu.
4. L’inertie d’un moteur étant très importante, on est amené à raisonner sur le couple moyen moteur
#»
Γ m = mB0 sin(θ0) #» uz. En régime permanent, la vitesse du rotor est constante, ce qui signifie que
mB0 sin(θ0) = αM , soit sin(θ0) =
αM
mB0
≤ 1, d’où M ≤
mB0
α
= Mmax.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Exercice 20.7
1. On applique la loi des mailles dans le circuit et on aboutit à E = RI, soit I = 24 A.
2. La barre sera soumise à la force de Laplace
#»
F La = −Ia #» uy ∧ Be #» uz = −IaBe #» ux. Cette force devant
s’opposer au mouvement de la barre, elle doit être selon − #» ux, donc Be > 0.
3. D’après la question précédente,
#»
F La = −IaBe #» ux et PLa(t) =
#»
F La · #» v (t) = −IaBe ˙
x(t) = −
d(IaBex)
dt
.
4. Les deux masses ont la même vitesse linéaire ˙
x(t) = v(t). L’énergie cinétique à l’instant t de l’ensemble
des deux masses est Ec(t) =
1
2
(m + m
)v
2 (t).
Le système des deux masses est soumis à la force de Laplace ci-dessus, qui dérive de l’énergie potentielle
Ep,La = IaBex, au poids de T qui ne travaille pas, à la réaction des rails qui ne travaille pas (absence
de frottements), et au poids de M qui dérive de l’énergie potentielle Ep,p = m
gzM avec zM = (H − x).
L’application de la loi de l’énergie cinétique entre t = 0 et t amène à :
1
2
(m + m
)(v
2 (t) − v
2
0 ) + IaBex(t) + m
g(H − x(t) − H) = 0, soit :
1
2
(m + m
)(v
2 (t) − v
2
0 ) = (m
g − IaBe)x(t), ce qui sous-entend que Be >
m
g
Ia
.
5. On tire de l’équation précédente la relation v
2 (t) = v
2
0 + 2
m
g − IaBe
m + m x(t). On cherche Be pour que
cette vitesse s’annule pour x f =
1
2
(m + m
)
v
2
0
IaBe − m g
< H, soit Be >
m
g
Ia
+
1
2
(m + m
)v
2
0
IaH
= 25 mT.
Cette valeur de Be est facilement réalisable à partir d’un aimant permanent.
Exercice 20.8
1. Le champ magnétique total créé par le stator s’écrit
#»
B =
#»
B1 +
#»
B2, c’est-à-dire :
#»
B = B0(cos(ωt) #» ux + sin(ωt) #» uy) = B0 #» u (t) avec #» u (t) un vecteur unitaire tournant autour de + #» uz à
la vitesse angulaire ω. Le champ magnétique est donc un champ tournant autour de Oz à la vitesse
angulaire ω, et sa norme est constante, égale à B0.
2.
#»
Γ(t) = m(cos(ω
t − θ0) #» ux + sin(ω
t − θ0) #» uy) ∧ B0(cos(ωt) #» ux + sin(ωt) #» uy).
#»
Γ(t) = mB0(cos(ω
t − θ0) sin(ωt) − sin(ω
t − θ0) cos(ωt)) #» uz = mB0 sin((ω − ω
)t + θ0) #» uz.
Sa valeur moyenne temporelle est nulle si ω
= ω et vaut
#»
Γ m = mB0 sin(θ0) #» uz si ω
= ω : ce moteur ne
peut fonctionner que si le mouvement du rotor est synchrone avec le champ tournant du stator, d’où
l’appellation moteur synchrone.
3. Sachant qu’initialement, ω
= 0 et ω = 0, le couple moyen étant nul, le moteur synchrone ne peut pas
démarrer spontanément : il faut le lancer grâce à un moteur auxiliaire, à une vitesse angulaire initiale
plus grande que ω, de façon à ce que l’accrochage puisse avoir lieu.
4. L’inertie d’un moteur étant très importante, on est amené à raisonner sur le couple moyen moteur
#»
Γ m = mB0 sin(θ0) #» uz. En régime permanent, la vitesse du rotor est constante, ce qui signifie que
mB0 sin(θ0) = αM , soit sin(θ0) =
αM
mB0
≤ 1, d’où M ≤
mB0
α
= Mmax.
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