526 Chapitre 19
Machines thermiques
Exercice 19.5
1. À l’instant t + dt, le système fermé est constitué du fluide compris dans la machine (Σ) et de Σ2.
2. La masse dm1 se trouve dans le volume S1c1dt en entrée puisque le fluide peut parcourir la distance
c1dt pendant dt. Le volume massique étant v1, nous pouvons donc écrire que dm1 =
S1c1dt
v1
. De même
en sortie, dm2 =
S2c2dt
v2
. La masse du système fermé Σ∗ est la même aux deux instants t et t + dt
donc : dm1 + m = dm2 + m, soit dm1 = dm2. Par définition, le débit massique correspond à la masse
de fluide traversant le détendeur par unité de temps : Dm =
dm1
dt
=
dm2
dt
.
3. La puissance des forces de pression en entrée est égale au produit scalaire de la force de pression par la
vitesse d’écoulement soit P1S1c1 puisque la force de pression exercée sur Σ∗ et la vitesse d’écoulement
ont même direction et même sens.
Le travail reçu en amont pendant dt est donc δWp,1 = P1S1c1dt = P1v1Dmdt. En sortie, la force de
pression s’oppose à l’écoulement : δWp,2 = −P2S2c2dt = −P2v2Dmdt.
4. Le travail utile reçu par une unité de masse de fluide est wu. Une masse Dmdt de fluide traverse le
compresseur pendant dt ; le travail utile reçu par cette masse est donc δWu = wuDmdt. De même nous
pouvons exprimer le transfert thermique élémentaire δQ = qDmdt.
5. Écrivons l’énergie cinétique de Σ∗ aux instants t et t + dt :
• À t : Ec(t) =
1
2
dm1c
2
1 + E c,Σ où E c,Σ est l’énergie cinétique du fluide dans Σ.
• À t + dt : Ec(t + dt) =
1
2
dm2c
2
2 + E c,Σ .
Notons que l’énergie cinétique de Σ est la même aux instants t et t+dt. La variation d’énergie cinétique
est donc dEc = Ec(t + dt) − Ec(t) =
1
2
dm1
c
2
2 − c
2
1
=
1
2
Dm
c
2
2 − c
2
1
dt.
Par le même raisonnement : dEp = Dm (ep2 − ep1) dt et dU = Dm (u2 − u1) dt.
6. Appliquons alors le premier principe au système fermé Σ∗ entre t et t + dt :
d(U + Ec + Ep) = δWp,1 + δWp,2 + δWu + δQ. Nous en déduisons :
(u2 − u1) +
1
2
c
2
2 − c
2
1
+ (ep2 − ep1)
Dmdt = (P1v1 − P2v2)Dmdt + wuDmdt + qDmdt.
En remarquant que l’enthalpie massique hi vaut par définition hi = ui + Pivi, nous obtenons bien la
relation (h2 − u1) +
1
2
c
2
2 − c
2
1
+ (ep2 − ep1) = wu + q.
7. Dans le cas d’une détente de Joule-Thomson, la relation devient h2 − h1 = 0 : la détente est isenthalpique.
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Machines thermiques
Exercice 19.5
1. À l’instant t + dt, le système fermé est constitué du fluide compris dans la machine (Σ) et de Σ2.
2. La masse dm1 se trouve dans le volume S1c1dt en entrée puisque le fluide peut parcourir la distance
c1dt pendant dt. Le volume massique étant v1, nous pouvons donc écrire que dm1 =
S1c1dt
v1
. De même
en sortie, dm2 =
S2c2dt
v2
. La masse du système fermé Σ∗ est la même aux deux instants t et t + dt
donc : dm1 + m = dm2 + m, soit dm1 = dm2. Par définition, le débit massique correspond à la masse
de fluide traversant le détendeur par unité de temps : Dm =
dm1
dt
=
dm2
dt
.
3. La puissance des forces de pression en entrée est égale au produit scalaire de la force de pression par la
vitesse d’écoulement soit P1S1c1 puisque la force de pression exercée sur Σ∗ et la vitesse d’écoulement
ont même direction et même sens.
Le travail reçu en amont pendant dt est donc δWp,1 = P1S1c1dt = P1v1Dmdt. En sortie, la force de
pression s’oppose à l’écoulement : δWp,2 = −P2S2c2dt = −P2v2Dmdt.
4. Le travail utile reçu par une unité de masse de fluide est wu. Une masse Dmdt de fluide traverse le
compresseur pendant dt ; le travail utile reçu par cette masse est donc δWu = wuDmdt. De même nous
pouvons exprimer le transfert thermique élémentaire δQ = qDmdt.
5. Écrivons l’énergie cinétique de Σ∗ aux instants t et t + dt :
• À t : Ec(t) =
1
2
dm1c
2
1 + E c,Σ où E c,Σ est l’énergie cinétique du fluide dans Σ.
• À t + dt : Ec(t + dt) =
1
2
dm2c
2
2 + E c,Σ .
Notons que l’énergie cinétique de Σ est la même aux instants t et t+dt. La variation d’énergie cinétique
est donc dEc = Ec(t + dt) − Ec(t) =
1
2
dm1
c
2
2 − c
2
1
=
1
2
Dm
c
2
2 − c
2
1
dt.
Par le même raisonnement : dEp = Dm (ep2 − ep1) dt et dU = Dm (u2 − u1) dt.
6. Appliquons alors le premier principe au système fermé Σ∗ entre t et t + dt :
d(U + Ec + Ep) = δWp,1 + δWp,2 + δWu + δQ. Nous en déduisons :
(u2 − u1) +
1
2
c
2
2 − c
2
1
+ (ep2 − ep1)
Dmdt = (P1v1 − P2v2)Dmdt + wuDmdt + qDmdt.
En remarquant que l’enthalpie massique hi vaut par définition hi = ui + Pivi, nous obtenons bien la
relation (h2 − u1) +
1
2
c
2
2 − c
2
1
+ (ep2 − ep1) = wu + q.
7. Dans le cas d’une détente de Joule-Thomson, la relation devient h2 − h1 = 0 : la détente est isenthalpique.
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