Exercices 49
7. Dans l’hypothèse où x D et a D, il est possible de montrer que δ(M )
ax
D
. En déduire
les positions du micro pour lesquelles les interférences sont destructives. L’amplitude du son
reçue par le micro dans ces positions est-elle minimale ou maximale ?
Exercice 2.3 La flûte de Pan
Méthode (2.3)
La flûte de Pan est un instrument de musique à vent composé d’un ensemble de tuyaux sonores
de longueurs différentes assemblés par des ligatures. Chaque tuyau possède une extrémité à l’air
libre et l’autre est fermée.
x
O
L
Les sons émis sont produits par les vibrations des colonnes
d’air contenues dans les différents tuyaux. La hauteur du
son émis dépend de la longueur du tuyau : un long tuyau
produit un son plus grave qu’un tuyau court.
Nous considérons l’un des tuyaux, fermé en x = 0 et
ouvert en x = L et cherchons une solution de type stationnaire pour la surpression acoustique dans ce tuyau :
p(x, t) = p 0 cos(kx + ϕ) cos(ωt + ϕ
) où ω est la pulsation
de l’onde et λ =
2π
k
sa longueur d’onde.
La célérité du son dans l’air est c = 342 m · s
−1 dans les
conditions d’utilisation de la flûte.
1. Qu’appelle-t-on nœuds et ventres de vibration ?
2. Montrer que deux nœuds ou deux ventres successifs sont distants de λ/2, un nœud et un ventre
successifs étant distants de λ/4.
3. Nous admettons que x = 0 correspond à un ventre pour l’onde de surpression et x = L à un
nœud.
a. Quelles sont les fréquences propres du tuyau ?
b. Quelle longueur L doit posséder le tuyau pour émettre un Do 3 de fréquence 262 Hz ?
Exercice 2.4 One Note Samba
Méthode (2.4)
Guitariste débutant, Marco joue le standard « One Note Samba » sur sa corde de Si.
x
z
0
L
x
z(x, t)
Le son émis est produit par les vibrations de la corde de
longueur L = 65,0 cm.
Nous cherchons une solution de type stationnaire pour
l’élongation z(x, t) de la corde :
z(x, t) = z 0 cos(kx + ϕ) cos(ωt + ϕ
) où ω est la pulsation
de l’onde et λ =
2π
k
sa longueur d’onde.
1. Préciser les conditions aux limites imposées en x = 0 et x = L.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
7. Dans l’hypothèse où x D et a D, il est possible de montrer que δ(M )
ax
D
. En déduire
les positions du micro pour lesquelles les interférences sont destructives. L’amplitude du son
reçue par le micro dans ces positions est-elle minimale ou maximale ?
Exercice 2.3 La flûte de Pan
Méthode (2.3)
La flûte de Pan est un instrument de musique à vent composé d’un ensemble de tuyaux sonores
de longueurs différentes assemblés par des ligatures. Chaque tuyau possède une extrémité à l’air
libre et l’autre est fermée.
x
O
L
Les sons émis sont produits par les vibrations des colonnes
d’air contenues dans les différents tuyaux. La hauteur du
son émis dépend de la longueur du tuyau : un long tuyau
produit un son plus grave qu’un tuyau court.
Nous considérons l’un des tuyaux, fermé en x = 0 et
ouvert en x = L et cherchons une solution de type stationnaire pour la surpression acoustique dans ce tuyau :
p(x, t) = p 0 cos(kx + ϕ) cos(ωt + ϕ
) où ω est la pulsation
de l’onde et λ =
2π
k
sa longueur d’onde.
La célérité du son dans l’air est c = 342 m · s
−1 dans les
conditions d’utilisation de la flûte.
1. Qu’appelle-t-on nœuds et ventres de vibration ?
2. Montrer que deux nœuds ou deux ventres successifs sont distants de λ/2, un nœud et un ventre
successifs étant distants de λ/4.
3. Nous admettons que x = 0 correspond à un ventre pour l’onde de surpression et x = L à un
nœud.
a. Quelles sont les fréquences propres du tuyau ?
b. Quelle longueur L doit posséder le tuyau pour émettre un Do 3 de fréquence 262 Hz ?
Exercice 2.4 One Note Samba
Méthode (2.4)
Guitariste débutant, Marco joue le standard « One Note Samba » sur sa corde de Si.
x
z
0
L
x
z(x, t)
Le son émis est produit par les vibrations de la corde de
longueur L = 65,0 cm.
Nous cherchons une solution de type stationnaire pour
l’élongation z(x, t) de la corde :
z(x, t) = z 0 cos(kx + ϕ) cos(ωt + ϕ
) où ω est la pulsation
de l’onde et λ =
2π
k
sa longueur d’onde.
1. Préciser les conditions aux limites imposées en x = 0 et x = L.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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