Corrections 471
c. La transformation étant adiabatique, le premier principe appliqué à l’air contenu dans le trou
s’écrit : ΔU1 = W1 soit nCV m(Tf 1 − T0) = −
P0 +
Mg
S
S(h f 1 − h0) où T f 1 est la température
de l’air dans l’état final. Utilisons l’équation d’état pour exprimer T f 1 :
P0 +
Mg
S
Sh f 1 = nRT f 1 d’où nCV m
P0 +
Mg
S
Sh f 1
nR
− T0
= −
P0 +
Mg
S
S(h f 1 − h0)
Finalement, avec CV m =
R
γ − 1
: h f 1 =
nCV mT0 +
P0 +
Mg
S
Sh0
P0 +
Mg
S
S
1 +
CV m
R
=
⎛
⎝ γ − 1
γ
+
1
γ
P0
P0 +
Mg
S
⎞
⎠ h0.
Numériquement, h f 1 = 90,4 m : Diana arrive juste au-dessus de la cache !
3. Option 2 :
a. En ajoutant lentement le gravier sur le couvercle, Diana augmente progressivement la pression
imposée à l’air dans le trou. Nous pouvons alors considérer que la transformation est une suite
d’états d’équilibre du système constitué par l’air dans le trou. La transformation subie reste par
ailleurs adiabatique.
b. Nous pouvons alors utiliser la loi de Laplace entre l’état initial et l’état final de hauteur h f 2 .
Notons que la pression finale est la même que dans l’option 1.
P0 +
Mg
S
(Sh f 2 )
γ = P0(Sh0)
γ
soit h f 2 = h0
⎛
⎝
P0
P0 +
Mg
S
⎞
⎠
1/γ
= 90,2 m. Diana arrive à la bonne hauteur.
4. Les courbes demandées sont tracées ci-contre.
Il apparaît que l’écart entre les hauteurs finales
augmente lorsque M augmente, ce qui est logique : de petites masses posées sur le couvercle modifient modestement la pression subie par l’air à l’intérieur. Avec M = 100 kg,
Mg
S
= 0,16 bar P0 : les deux façons de procéder conduisent à des hauteurs finales qui ne diffèrent que de quelques centimètres, mais ceux-ci
font toute la différence dans la quête du diamant
jaune !
5. En prenant son temps (option 2), Diana arrivera
juste à la bonne hauteur !
0
50
100
150
200
250
300
M (kg)
75
80
85
90
95
100
h
f (m)
h f 2
h f 1
Exercice 17.2
1. Appliquons la loi de Laplace : Pint − Pext =
4γ
a
= 10 Pa. L’air est assimilé à un gaz parfait à la
température T0 occupant le volume V =
4
3
πa
3 . Ainsi, n =
PintV
RT0
= 1,7 · 10
−4 mol.
2. La loi de Laplace montre que la pression extérieure et la pression intérieure sont très voisines. Ainsi
a
3nRT
4πPext
1/3
= (nT )
1/3
3R
4πPext
1/3
. En supposant la pression extérieure imposée, la loi reliant
a à la température T et à n peut s’écrire :
a
(nT ) 1/3 = cste.
3. Lorsque la bulle s’approche de la lampe électrique, sa température va s’élever et son rayon va donc
augmenter puisque la quantité d’air n dans la bulle est constante.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
c. La transformation étant adiabatique, le premier principe appliqué à l’air contenu dans le trou
s’écrit : ΔU1 = W1 soit nCV m(Tf 1 − T0) = −
P0 +
Mg
S
S(h f 1 − h0) où T f 1 est la température
de l’air dans l’état final. Utilisons l’équation d’état pour exprimer T f 1 :
P0 +
Mg
S
Sh f 1 = nRT f 1 d’où nCV m
P0 +
Mg
S
Sh f 1
nR
− T0
= −
P0 +
Mg
S
S(h f 1 − h0)
Finalement, avec CV m =
R
γ − 1
: h f 1 =
nCV mT0 +
P0 +
Mg
S
Sh0
P0 +
Mg
S
S
1 +
CV m
R
=
⎛
⎝ γ − 1
γ
+
1
γ
P0
P0 +
Mg
S
⎞
⎠ h0.
Numériquement, h f 1 = 90,4 m : Diana arrive juste au-dessus de la cache !
3. Option 2 :
a. En ajoutant lentement le gravier sur le couvercle, Diana augmente progressivement la pression
imposée à l’air dans le trou. Nous pouvons alors considérer que la transformation est une suite
d’états d’équilibre du système constitué par l’air dans le trou. La transformation subie reste par
ailleurs adiabatique.
b. Nous pouvons alors utiliser la loi de Laplace entre l’état initial et l’état final de hauteur h f 2 .
Notons que la pression finale est la même que dans l’option 1.
P0 +
Mg
S
(Sh f 2 )
γ = P0(Sh0)
γ
soit h f 2 = h0
⎛
⎝
P0
P0 +
Mg
S
⎞
⎠
1/γ
= 90,2 m. Diana arrive à la bonne hauteur.
4. Les courbes demandées sont tracées ci-contre.
Il apparaît que l’écart entre les hauteurs finales
augmente lorsque M augmente, ce qui est logique : de petites masses posées sur le couvercle modifient modestement la pression subie par l’air à l’intérieur. Avec M = 100 kg,
Mg
S
= 0,16 bar P0 : les deux façons de procéder conduisent à des hauteurs finales qui ne diffèrent que de quelques centimètres, mais ceux-ci
font toute la différence dans la quête du diamant
jaune !
5. En prenant son temps (option 2), Diana arrivera
juste à la bonne hauteur !
0
50
100
150
200
250
300
M (kg)
75
80
85
90
95
100
h
f (m)
h f 2
h f 1
Exercice 17.2
1. Appliquons la loi de Laplace : Pint − Pext =
4γ
a
= 10 Pa. L’air est assimilé à un gaz parfait à la
température T0 occupant le volume V =
4
3
πa
3 . Ainsi, n =
PintV
RT0
= 1,7 · 10
−4 mol.
2. La loi de Laplace montre que la pression extérieure et la pression intérieure sont très voisines. Ainsi
a
3nRT
4πPext
1/3
= (nT )
1/3
3R
4πPext
1/3
. En supposant la pression extérieure imposée, la loi reliant
a à la température T et à n peut s’écrire :
a
(nT ) 1/3 = cste.
3. Lorsque la bulle s’approche de la lampe électrique, sa température va s’élever et son rayon va donc
augmenter puisque la quantité d’air n dans la bulle est constante.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com