42 Chapitre 2
Propagation et superposition des signaux
Ainsi les deux conditions aux limites imposent une quantification de la pulsation spatiale k donc
de la longueur d’onde λ = 2π/k et de la fréquence f = c/λ :
k n = n
π
L
; λ n =
2L
n
; f n =
c
λ n
= n
c
2L
Ces expressions définissent les modes propres et les fréquences propres d’une corde vibrante
fixée à ses extrémités.
Les modes propres d’une corde de longueur L fixée à ses extrémités sont les modes de
vibration de la forme :
z n (x, t) = A sin (k n x) cos (2πf n t + ϕ
) avec f n = n
c
2L
, k n = n
π
L
et n ∈ N
∗
où c est la célérité des ondes le long de la corde. Leurs fréquences f n constituent les fréquences
propres de la corde.
Définition : Fréquences propres et modes propres
• Le mode n = 1 est le mode fondamental : f 1 = c/2L et λ 1 = 2L.
On en déduit que L = λ 1 /2. On observe deux nœuds, un à chaque extrémité de la corde et
un fuseau de longueur λ 1 /2.
• Le mode n > 1 est le mode harmonique de rang n : f n = n(c/2L) et λ n = 2L/n.
On en déduit que L = n(λ n /2) . On observe n + 1 nœuds dont un à chaque extrémité de la
corde et n fuseaux de longueur λ n /2.
• Écrire les ondes stationnaires sous la forme : s(x, t) = A cos (kx + ϕ) cos (ωt + ϕ
).
• Identifier les conditions aux limites aux extrémités de la corde (valeurs des amplitudes
imposées en ces points).
• Déterminer les fréquences propres f n qui satisfont à ces conditions aux limites.
Méthode 2.4 : Recherche des fréquences propres d’une corde vibrante
Exercice (2.4)
Comment définir l’état vibratoire d’une corde fixée à ses deux extrémités ?
On montre qu’un état vibratoire quelconque d’une corde ayant des conditions imposées à ses
extrémités est une combinaison linéaire de ses modes propres satisfaisant à ces conditions aux
limites.
Une vibration quelconque d’une corde fixée à ses extrémités est décomposable en modes
propres satisfaisant aux conditions aux limites :
s(x, t) =
+∞
n=1
A n sin (k n x) cos (2πf n t + ϕ n ) avec f n = n
c
2L
, k n = n
π
L
et ∈ N
∗
État vibratoire d’une corde fixée à ses extrémités
partagelivrescpge.blogspot.com
Propagation et superposition des signaux
Ainsi les deux conditions aux limites imposent une quantification de la pulsation spatiale k donc
de la longueur d’onde λ = 2π/k et de la fréquence f = c/λ :
k n = n
π
L
; λ n =
2L
n
; f n =
c
λ n
= n
c
2L
Ces expressions définissent les modes propres et les fréquences propres d’une corde vibrante
fixée à ses extrémités.
Les modes propres d’une corde de longueur L fixée à ses extrémités sont les modes de
vibration de la forme :
z n (x, t) = A sin (k n x) cos (2πf n t + ϕ
) avec f n = n
c
2L
, k n = n
π
L
et n ∈ N
∗
où c est la célérité des ondes le long de la corde. Leurs fréquences f n constituent les fréquences
propres de la corde.
Définition : Fréquences propres et modes propres
• Le mode n = 1 est le mode fondamental : f 1 = c/2L et λ 1 = 2L.
On en déduit que L = λ 1 /2. On observe deux nœuds, un à chaque extrémité de la corde et
un fuseau de longueur λ 1 /2.
• Le mode n > 1 est le mode harmonique de rang n : f n = n(c/2L) et λ n = 2L/n.
On en déduit que L = n(λ n /2) . On observe n + 1 nœuds dont un à chaque extrémité de la
corde et n fuseaux de longueur λ n /2.
• Écrire les ondes stationnaires sous la forme : s(x, t) = A cos (kx + ϕ) cos (ωt + ϕ
).
• Identifier les conditions aux limites aux extrémités de la corde (valeurs des amplitudes
imposées en ces points).
• Déterminer les fréquences propres f n qui satisfont à ces conditions aux limites.
Méthode 2.4 : Recherche des fréquences propres d’une corde vibrante
Exercice (2.4)
Comment définir l’état vibratoire d’une corde fixée à ses deux extrémités ?
On montre qu’un état vibratoire quelconque d’une corde ayant des conditions imposées à ses
extrémités est une combinaison linéaire de ses modes propres satisfaisant à ces conditions aux
limites.
Une vibration quelconque d’une corde fixée à ses extrémités est décomposable en modes
propres satisfaisant aux conditions aux limites :
s(x, t) =
+∞
n=1
A n sin (k n x) cos (2πf n t + ϕ n ) avec f n = n
c
2L
, k n = n
π
L
et ∈ N
∗
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