L’essentiel du cours 41
Les positions des ventres et des nœuds peuvent également se déduire des relations 2.3
et 2.4 obtenues à partir de la représentation de Fresnel.
• Écrire l’onde stationnaire sous la forme : s(x, t) = A cos (kx + ϕ) cos (ωt + ϕ
).
• Rechercher les positions des nœuds en résolvant l’équation : cos (kx + ϕ) = 0.
• Rechercher les position des ventres en résolvant l’équation : cos (kx + ϕ) = ±1.
Méthode 2.3 : Recherche des positions des ventres et des nœuds de vibration
Exercice (2.3)
Et les instruments à cordes dans tout cela ?
Dans un instrument à cordes, chaque corde est fixée à chacune de ses extrémités. Elle a une
longueur donnée L, une masse linéique μ et est tendue avec une tension T . Ces trois paramètres
varient d’une corde à l’autre.
Lorsque le musicien joue de son instrument, il met ses cordes en vibration en les écartant de
leur position de repos et en les relâchant (guitariste), en communiquant une vitesse à certains de
leurs points en les frappant avec un marteau (pianiste), ou en frottant la corde avec son archet
(violoniste). La hauteur d’une note, c’est-à-dire la fréquence de l’harmonique fondamentale, dépend
de la masse linéique, de la tension de la corde et de sa longueur. Le violoniste agit sur la longueur
de la corde pour modifier la hauteur du son qu’elle émet.
Quelles sont les fréquences de vibration d’une corde fixée à ses extrémités ?
Considérons une corde OA, fixée en O et
A, de longueur L, effectuant de petites oscillations transversales dans le plan (Oxz).
L’élongation transversale à la date t d’un
point M de la corde est notée z(M, t). La
célérité des ondes se propageant le long de
la corde a pour expression c =
T/μ.
x
z
•
•
•
M
x
O
A
z(M, t)
L
Figure 2.27. Corde vibrante à la date t.
Lorsque la corde entre en vibration, un système d’ondes stationnaires s’installe. Nous cherchons
donc l’expression de z(M, t) sous la forme : z(x, t) = A cos (kx + ϕ) cos (ωt + ϕ
) avec k = ω/c.
Cette expression doit satisfaire aux conditions aux limites z(0, t) = 0 et z(L, t) = 0, ∀t.
• En x = 0 : z(0, t) = A cos (ϕ) cos (ωt + ϕ
) = 0 ⇒ cos (ϕ) = 0 ⇒ ϕ = −
π
2
+ nπ avec n ∈ Z.
Avec ϕ = −
π
2
on obtient : z(x, t) = A cos
kx −
π
2
cos (ωt + ϕ
) = A sin (kx) cos (ωt + ϕ
).
• En x = L : z(L, t) = A sin (kL) cos (ωt + ϕ
) = 0 ⇒ sin (kL) = 0. D’où :
kL = nπ ⇒ k n = n
π
L
avec n ∈ N
∗ car kL > 0.
Finalement les ondes stationnaires qui satisfont aux conditions aux limites sont de la forme :
z n (x, t) = A sin
n
π
L
x
cos (ωt + ϕ
) avec n ∈ N
∗
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Les positions des ventres et des nœuds peuvent également se déduire des relations 2.3
et 2.4 obtenues à partir de la représentation de Fresnel.
• Écrire l’onde stationnaire sous la forme : s(x, t) = A cos (kx + ϕ) cos (ωt + ϕ
).
• Rechercher les positions des nœuds en résolvant l’équation : cos (kx + ϕ) = 0.
• Rechercher les position des ventres en résolvant l’équation : cos (kx + ϕ) = ±1.
Méthode 2.3 : Recherche des positions des ventres et des nœuds de vibration
Exercice (2.3)
Et les instruments à cordes dans tout cela ?
Dans un instrument à cordes, chaque corde est fixée à chacune de ses extrémités. Elle a une
longueur donnée L, une masse linéique μ et est tendue avec une tension T . Ces trois paramètres
varient d’une corde à l’autre.
Lorsque le musicien joue de son instrument, il met ses cordes en vibration en les écartant de
leur position de repos et en les relâchant (guitariste), en communiquant une vitesse à certains de
leurs points en les frappant avec un marteau (pianiste), ou en frottant la corde avec son archet
(violoniste). La hauteur d’une note, c’est-à-dire la fréquence de l’harmonique fondamentale, dépend
de la masse linéique, de la tension de la corde et de sa longueur. Le violoniste agit sur la longueur
de la corde pour modifier la hauteur du son qu’elle émet.
Quelles sont les fréquences de vibration d’une corde fixée à ses extrémités ?
Considérons une corde OA, fixée en O et
A, de longueur L, effectuant de petites oscillations transversales dans le plan (Oxz).
L’élongation transversale à la date t d’un
point M de la corde est notée z(M, t). La
célérité des ondes se propageant le long de
la corde a pour expression c =
T/μ.
x
z
•
•
•
M
x
O
A
z(M, t)
L
Figure 2.27. Corde vibrante à la date t.
Lorsque la corde entre en vibration, un système d’ondes stationnaires s’installe. Nous cherchons
donc l’expression de z(M, t) sous la forme : z(x, t) = A cos (kx + ϕ) cos (ωt + ϕ
) avec k = ω/c.
Cette expression doit satisfaire aux conditions aux limites z(0, t) = 0 et z(L, t) = 0, ∀t.
• En x = 0 : z(0, t) = A cos (ϕ) cos (ωt + ϕ
) = 0 ⇒ cos (ϕ) = 0 ⇒ ϕ = −
π
2
+ nπ avec n ∈ Z.
Avec ϕ = −
π
2
on obtient : z(x, t) = A cos
kx −
π
2
cos (ωt + ϕ
) = A sin (kx) cos (ωt + ϕ
).
• En x = L : z(L, t) = A sin (kL) cos (ωt + ϕ
) = 0 ⇒ sin (kL) = 0. D’où :
kL = nπ ⇒ k n = n
π
L
avec n ∈ N
∗ car kL > 0.
Finalement les ondes stationnaires qui satisfont aux conditions aux limites sont de la forme :
z n (x, t) = A sin
n
π
L
x
cos (ωt + ϕ
) avec n ∈ N
∗
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com