40 Chapitre 2
Propagation et superposition des signaux
Lorsque deux signaux sinusoïdaux de même amplitude et de même pulsation ω se superposent
en se propageant en sens inverse, le signal résultant est une onde stationnaire décrite par une
fonction mathématique de la forme :
s(x, t) = A cos (kx + ϕ) cos (ωt + ϕ
) avec k = ω/c
Définition : Onde stationnaire sinusoïdale
Le signal résultant, contrairement aux signaux s 1 (x, t) et s 2 (x, t) qui se superposent,
n’est pas de la forme f
t ±
x
c
et donc ne se propage pas.
Pour nous en convaincre, traçons l’allure du signal s(M, t) en fonction de x à différents instants t.
x
s
O
−λ
−λ/2
λ/2
λ
s(x, t 1 )
s (x, t 1 + T/6)
s (x, t 1 + T/3)
s(x, t 1 + T/2)
Figure 2.26. Représentation spatiale du signal résultant à différents instants.
Nous remarquons que ce signal est très différent de celui d’une onde progressive harmonique se
propageant selon Ox (figure 2.14). En outre, cette représentation confirme bien l’existence de
ventres et de nœuds de vibration.
• Un nœud de vibration est un point où l’amplitude de l’onde stationnaire est nulle.
• Un ventre de vibration est un point où l’amplitude de l’onde stationnaire est maximale.
Définition : Nœuds et ventres de vibration
Quelles sont les positions x n des nœuds de vibration ?
Une amplitude nulle correspond à cos (kx n + ϕ) = 0. On en déduit :
kx n + ϕ =
n +
1
2
π =⇒ x n =
n +
1
2
π
k
−
ϕ
k
=⇒ x n =
n +
1
2
λ
2
−
ϕ
k
avec n ∈ Z.
Quelles sont les positions x n des ventres de vibration ?
Une amplitude maximale correspond à cos (kx n + ϕ) = ±1 On en déduit :
kx n + ϕ = nπ =⇒ x n = n
π
k
−
ϕ
k
=⇒ x n = n
λ
2
−
ϕ
k
avec n ∈ Z.
Deux nœuds ou deux ventres successifs sont distants de λ/2. Un nœud et un ventre
successifs sont distants de λ/4.
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Propagation et superposition des signaux
Lorsque deux signaux sinusoïdaux de même amplitude et de même pulsation ω se superposent
en se propageant en sens inverse, le signal résultant est une onde stationnaire décrite par une
fonction mathématique de la forme :
s(x, t) = A cos (kx + ϕ) cos (ωt + ϕ
) avec k = ω/c
Définition : Onde stationnaire sinusoïdale
Le signal résultant, contrairement aux signaux s 1 (x, t) et s 2 (x, t) qui se superposent,
n’est pas de la forme f
t ±
x
c
et donc ne se propage pas.
Pour nous en convaincre, traçons l’allure du signal s(M, t) en fonction de x à différents instants t.
x
s
O
−λ
−λ/2
λ/2
λ
s(x, t 1 )
s (x, t 1 + T/6)
s (x, t 1 + T/3)
s(x, t 1 + T/2)
Figure 2.26. Représentation spatiale du signal résultant à différents instants.
Nous remarquons que ce signal est très différent de celui d’une onde progressive harmonique se
propageant selon Ox (figure 2.14). En outre, cette représentation confirme bien l’existence de
ventres et de nœuds de vibration.
• Un nœud de vibration est un point où l’amplitude de l’onde stationnaire est nulle.
• Un ventre de vibration est un point où l’amplitude de l’onde stationnaire est maximale.
Définition : Nœuds et ventres de vibration
Quelles sont les positions x n des nœuds de vibration ?
Une amplitude nulle correspond à cos (kx n + ϕ) = 0. On en déduit :
kx n + ϕ =
n +
1
2
π =⇒ x n =
n +
1
2
π
k
−
ϕ
k
=⇒ x n =
n +
1
2
λ
2
−
ϕ
k
avec n ∈ Z.
Quelles sont les positions x n des ventres de vibration ?
Une amplitude maximale correspond à cos (kx n + ϕ) = ±1 On en déduit :
kx n + ϕ = nπ =⇒ x n = n
π
k
−
ϕ
k
=⇒ x n = n
λ
2
−
ϕ
k
avec n ∈ Z.
Deux nœuds ou deux ventres successifs sont distants de λ/2. Un nœud et un ventre
successifs sont distants de λ/4.
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