L’essentiel du cours 39
Comment rendre compte du phénomène d’onde stationnaire ?
Considérons le cas de deux ondes sinusoïdales, de même pulsation ω et de même amplitude S 0 , se
propageant en sens inverse parallèlement à un axe Ox. En un point M d’abscisse x, pour l’onde se
propageant dans le sens :
— des x croissants : s 1 (M, t) = s 1 (x, t) = S 0 cos(ωt − kx + ϕ 0 ).
— des x décroissants : s 2 (M, t) = s 2 (x, t) = S 0 cos(ωt + kx + ϕ
0 ).
Nous en déduisons l’expression de l’onde résultante :
(2.2) s(x, t) = s 1 (x, t) + s 2 (x, t) = S 0 cos(ωt − kx + ϕ 0 ) + S 0 cos(ωt + kx + ϕ
0 ) avec k = ω/c
Que nous apprend la construction de Fresnel ?
Soit
#»
S 1 (M, t),
#»
S 2 (M, t) et
#»
S (M, t) les vecteurs associés à s 1 (M, t), s 2 (M, t) et s(M, t).
x
y
O ωt 1 + kx + ϕ
0
#»
S 2 (M, t 1 )
ωt 1 − kx + ϕ 0
#»
S 1 (M, t 1 )
#»
S (M, t 1 )
Figure 2.24. Représentation à t1.
x
y
O
#»
S 2 (M, t 2 )
ωt 2 + kx + ϕ
0
#»
S 1 (M, t 2 )
ωt 2 − kx + ϕ 0
#»
S (M, t 2 )
Figure 2.25. Représentation à t2 > t1.
Les vecteurs
#»
S 1 (M, t) et
#»
S 2 (M, t) tournent à la même vitesse angulaire ω et à x = cste leur angle
reste constant. En un point M donné, la figure tourne donc autour de l’axe Oz sans se déformer.
Nous en déduisons que le vecteur
#»
S tourne également à la vitesse angulaire ω et que son module, qui
dépend de x, reste constant. Le signal résultant s’écrit donc sous la forme s(M, t) = S(x) cos(ωt+ϕ).
En outre quand les signaux sont en phase les vecteurs
#»
S 1 (M, t) et
#»
S 2 (M, t) sont égaux et
#»
S est
maximum. L’abscisse x d’un ventre de vibration doit vérifier l’équation suivante :
(2.3)
ωt − kx + ϕ 0 = ωt + kx + ϕ
0 + 2nπ avec n ∈ Z
Quand les signaux sont en opposition de phase les vecteurs
#»
S 1 (M, t) et
#»
S 2 (M, t) sont opposés et
#»
S est minimum (
#»
S = 0). L’abscisse x d’un nœud de vibration doit vérifier l’équation suivante :
(2.4)
ωt − kx + ϕ 0 = ωt + kx + ϕ
0 + (2n + 1)π avec n ∈ Z
Quelle est l’expression du signal résultant ?
En utilisant la formule trigonométrique cos(p)+cos(q) = 2 cos
p − q
2
cos
p + q
2
la relation 2.2
se met sous la forme :
(2.5)
s(M, t) = 2S 0 cos
kx +
ϕ
0 − ϕ 0
2
cos
ωt +
ϕ
0 + ϕ 0
2
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Comment rendre compte du phénomène d’onde stationnaire ?
Considérons le cas de deux ondes sinusoïdales, de même pulsation ω et de même amplitude S 0 , se
propageant en sens inverse parallèlement à un axe Ox. En un point M d’abscisse x, pour l’onde se
propageant dans le sens :
— des x croissants : s 1 (M, t) = s 1 (x, t) = S 0 cos(ωt − kx + ϕ 0 ).
— des x décroissants : s 2 (M, t) = s 2 (x, t) = S 0 cos(ωt + kx + ϕ
0 ).
Nous en déduisons l’expression de l’onde résultante :
(2.2) s(x, t) = s 1 (x, t) + s 2 (x, t) = S 0 cos(ωt − kx + ϕ 0 ) + S 0 cos(ωt + kx + ϕ
0 ) avec k = ω/c
Que nous apprend la construction de Fresnel ?
Soit
#»
S 1 (M, t),
#»
S 2 (M, t) et
#»
S (M, t) les vecteurs associés à s 1 (M, t), s 2 (M, t) et s(M, t).
x
y
O ωt 1 + kx + ϕ
0
#»
S 2 (M, t 1 )
ωt 1 − kx + ϕ 0
#»
S 1 (M, t 1 )
#»
S (M, t 1 )
Figure 2.24. Représentation à t1.
x
y
O
#»
S 2 (M, t 2 )
ωt 2 + kx + ϕ
0
#»
S 1 (M, t 2 )
ωt 2 − kx + ϕ 0
#»
S (M, t 2 )
Figure 2.25. Représentation à t2 > t1.
Les vecteurs
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S 1 (M, t) et
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S 2 (M, t) tournent à la même vitesse angulaire ω et à x = cste leur angle
reste constant. En un point M donné, la figure tourne donc autour de l’axe Oz sans se déformer.
Nous en déduisons que le vecteur
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S tourne également à la vitesse angulaire ω et que son module, qui
dépend de x, reste constant. Le signal résultant s’écrit donc sous la forme s(M, t) = S(x) cos(ωt+ϕ).
En outre quand les signaux sont en phase les vecteurs
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S 1 (M, t) et
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S 2 (M, t) sont égaux et
#»
S est
maximum. L’abscisse x d’un ventre de vibration doit vérifier l’équation suivante :
(2.3)
ωt − kx + ϕ 0 = ωt + kx + ϕ
0 + 2nπ avec n ∈ Z
Quand les signaux sont en opposition de phase les vecteurs
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S 1 (M, t) et
#»
S 2 (M, t) sont opposés et
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S est minimum (
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S = 0). L’abscisse x d’un nœud de vibration doit vérifier l’équation suivante :
(2.4)
ωt − kx + ϕ 0 = ωt + kx + ϕ
0 + (2n + 1)π avec n ∈ Z
Quelle est l’expression du signal résultant ?
En utilisant la formule trigonométrique cos(p)+cos(q) = 2 cos
p − q
2
cos
p + q
2
la relation 2.2
se met sous la forme :
(2.5)
s(M, t) = 2S 0 cos
kx +
ϕ
0 − ϕ 0
2
cos
ωt +
ϕ
0 + ϕ 0
2
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