Corrections 423
Exercice 15.8
1. On commence par déterminer l’expression de l’énergie potentielle.
#»
F (r > R) =
2Ze
2
4πε0r 2
#» ur = −
dEp
dr
#» ur d’où :
Ep(r > R) =
Ze
2
2πε0r
=
kR
3
r
.
#»
F (r < R) =
2Ze
2
4πε0R 3 r #» ur = −
dEp
dr
#» ur d’où en
utilisant la continuité de l’énergie potentielle en
r = R, on obtient :
Ep(r < R) =
Ze
2
4πε0R 3 (3R
2 − r
2 ) =
k
2
(3R
2 − r
2 ).
L’allure de cette énergie potentielle est tracée sur
le graphe ci-contre.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
r/R
E
p
2. a. Nous écrivons la conservation de l’énergie mécanique : Em = Ec1 =
1
2
mv
2 +
kR
3
r
, et pour b = 0,
v = 0 pour r = R. On obtient ainsi Ec1 = kR
2 =
Ze
2
2πε0R
soit R =
Ze
2
2πε0Ec1
= 1,4 · 10
−10 m.
b. La déviation est d’autant plus importante que l’énergie cinétique initiale des particules alpha est
faible. Lorsque cette énergie devient trop élevée, les particules alpha ne sont presque pas déviées.
c. À 5 MeV, d’après ce modèle, les particules alpha ne doivent pas être déviées et traversent le pudding
comme s’il n’existait pas, ce qui n’est pas ce qui a été constaté expérimentalement. Ce modèle paraît
donc trop simpliste.
d. L’atome étant neutre, il n’y a pas de déviation si b > R. Lorsque la particule α pénètre dans le
« pudding », la présence des électrons va tendre à diminuer la force de répulsion électrostatique et
donc les déviations éventuelles. Les conclusions tirées précédemment ne sont pas remises en cause
par la présence des électrons.
Exercice 15.9
1. La planète P est soumise uniquement à la force d’attraction du Baudueil
#»
F , force centrale dont le
moment par rapport B est nul. L’application de la loi du moment cinétique par rapport à B appliquée
à cette planète dans le référentiel R conduit ainsi à
d
#»
LB
dt
=
#»
0 : le moment cinétique par rapport à B
de la planète P se conserve. On en déduit que la trajectoire de P s’effectue dans le plan perpendiculaire
au moment cinétique : le mouvement est donc plan comme l’affirme la première loi d’Almeirius.
2. On se place en coordonnées polaires de centre B :
#»
LB = mr
2 ˙
θ #» uz =
# »
cste, on obtient donc la loi des
aires r
2 ˙
θ = 2
dA
dt
= C, C constante et
dA
dt
aire balayée par BP par unité de temps. On en déduit donc
que l’aire balayée par unité de temps par le segment BP est une constante.
En appliquant la loi de la quantité de mouvement à P dans R, il vient : −mr ˙
θ
2 = −
kMBm
r 3/2 , soit avec
˙
θ =
2π
T
,
r
5/2
T 2 =
kMB
4π 2 , ce qui correspond à la troisième loi d’Almeirius. En utilisant cette loi pour les
trois planètes, on obtient MB = 2,0 · 10
30 kg.
3. La première et la seconde lois sont les mêmes que les lois de Kepler, seule la troisième est différente,
de part la présence de la puissance 5/2 dans la loi en r, qui remplace le 3 de la troisième loi de Kepler.
4.
#»
F = −
kMBm
r 3/2
#» ur = −
dEp
dr
#» ur avec Ep = −
2kMBm
√ r
. L’unité de k est le m
5/2 · kg
−1 · s
−2 .
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Exercice 15.8
1. On commence par déterminer l’expression de l’énergie potentielle.
#»
F (r > R) =
2Ze
2
4πε0r 2
#» ur = −
dEp
dr
#» ur d’où :
Ep(r > R) =
Ze
2
2πε0r
=
kR
3
r
.
#»
F (r < R) =
2Ze
2
4πε0R 3 r #» ur = −
dEp
dr
#» ur d’où en
utilisant la continuité de l’énergie potentielle en
r = R, on obtient :
Ep(r < R) =
Ze
2
4πε0R 3 (3R
2 − r
2 ) =
k
2
(3R
2 − r
2 ).
L’allure de cette énergie potentielle est tracée sur
le graphe ci-contre.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
r/R
E
p
2. a. Nous écrivons la conservation de l’énergie mécanique : Em = Ec1 =
1
2
mv
2 +
kR
3
r
, et pour b = 0,
v = 0 pour r = R. On obtient ainsi Ec1 = kR
2 =
Ze
2
2πε0R
soit R =
Ze
2
2πε0Ec1
= 1,4 · 10
−10 m.
b. La déviation est d’autant plus importante que l’énergie cinétique initiale des particules alpha est
faible. Lorsque cette énergie devient trop élevée, les particules alpha ne sont presque pas déviées.
c. À 5 MeV, d’après ce modèle, les particules alpha ne doivent pas être déviées et traversent le pudding
comme s’il n’existait pas, ce qui n’est pas ce qui a été constaté expérimentalement. Ce modèle paraît
donc trop simpliste.
d. L’atome étant neutre, il n’y a pas de déviation si b > R. Lorsque la particule α pénètre dans le
« pudding », la présence des électrons va tendre à diminuer la force de répulsion électrostatique et
donc les déviations éventuelles. Les conclusions tirées précédemment ne sont pas remises en cause
par la présence des électrons.
Exercice 15.9
1. La planète P est soumise uniquement à la force d’attraction du Baudueil
#»
F , force centrale dont le
moment par rapport B est nul. L’application de la loi du moment cinétique par rapport à B appliquée
à cette planète dans le référentiel R conduit ainsi à
d
#»
LB
dt
=
#»
0 : le moment cinétique par rapport à B
de la planète P se conserve. On en déduit que la trajectoire de P s’effectue dans le plan perpendiculaire
au moment cinétique : le mouvement est donc plan comme l’affirme la première loi d’Almeirius.
2. On se place en coordonnées polaires de centre B :
#»
LB = mr
2 ˙
θ #» uz =
# »
cste, on obtient donc la loi des
aires r
2 ˙
θ = 2
dA
dt
= C, C constante et
dA
dt
aire balayée par BP par unité de temps. On en déduit donc
que l’aire balayée par unité de temps par le segment BP est une constante.
En appliquant la loi de la quantité de mouvement à P dans R, il vient : −mr ˙
θ
2 = −
kMBm
r 3/2 , soit avec
˙
θ =
2π
T
,
r
5/2
T 2 =
kMB
4π 2 , ce qui correspond à la troisième loi d’Almeirius. En utilisant cette loi pour les
trois planètes, on obtient MB = 2,0 · 10
30 kg.
3. La première et la seconde lois sont les mêmes que les lois de Kepler, seule la troisième est différente,
de part la présence de la puissance 5/2 dans la loi en r, qui remplace le 3 de la troisième loi de Kepler.
4.
#»
F = −
kMBm
r 3/2
#» ur = −
dEp
dr
#» ur avec Ep = −
2kMBm
√ r
. L’unité de k est le m
5/2 · kg
−1 · s
−2 .
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