424 Chapitre 15
Champ de force centrale
5. La force
#»
F dérive de l’énergie potentielle Ep, et l’énergie cinétique de P est Ec =
m
2
(r
2 ˙
θ
2 + ˙
r
2 ). Le
système est conservatif, il y a conservation de l’énergie mécanique Em =
m
2
(r
2 ˙
θ
2 + ˙
r
2 ) + Ep(r).
Or ˙
θ
2 =
C
2
r 4 , soit r
2 ˙
θ
2 =
C
2
r 2 . On peut donc écrire
l’énergie mécanique sous la forme suivante :
Em =
1
2
m ˙
r
2 +
1
2
m
C
2
r 2 +Ep(r). On définit l’énergie
potentielle effective de P par :
Ep,e =
1
2
m
C
2
r 2 −
2kMBm
√ r
. La figure ci-contre
montre l’allure de l’évolution de l’énergie potentielle effective divisée par l’opposé de la valeur de
son minimum (car celui-ci est négatif) en fonction
du rapport r/r0 avec r0 correspondant au minimum de Ep,e.
0
5
10
15
20
r/r0
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Ep,e/Epe,0
6. D’après le graphe ci-dessus, nous voyons que si Em ≥ 0, la nature de la trajectoire de P autour de
B aura une nature diffusive, alors que si Em < 0, la trajectoire de la planète correspondra à un état
lié. Nous remarquons de plus que cette énergie potentielle effective présente une cuvette de potentiel :
lorsque l’énergie mécanique sera égale à l’énergie potentielle effective minimum, le mouvement sera
donc circulaire.
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