422 Chapitre 15
Champ de force centrale
Exercice 15.6
1. Troisième loi de Kepler : le rapport
a
3
T 2 avec T période de révolution et a demi-grand axe de l’ellipse
est une constante pour tous les corps subissant l’attraction gravitationnelle d’une même planète ou
d’une même étoile.
Ici, la planète concernée est la Terre. Le satellite étant en orbite circulaire de rayon R autour du
centre T de la Terre, on peut lui associer une base polaire ( #» ur, #» u θ ), et son accélération dans le référentiel
géocentrique galiléen est donnée par #» a = −R ˙
θ
2 #» ur +R ¨
θ #» u θ . Il est soumis à la force d’attraction terrestre
#»
F = −
GmT m
R 2
#» ur. L’application de la loi de la quantité de mouvement à ce satellite s’écrit m #» a =
#»
F ;
ce qui conduit par projection à : ¨
θ = 0, soit ˙
θ = cste = ω et Rω
2 =
GmT
R 2 , soit ω
2 R
3 = GmT =
4π
2 R
3
T 2 ,
et par conséquent
R
3
T 2 =
GmT
4π 2 .
2. On fait l’application numérique pour la constante :
GmT
4π 2 = 1,0 · 10
13 m
3 · s
−2 . D’après les données du
texte, R = 14,511 · 10
3 km et T = 12 · 10
3 s. On calcule alors
R
3
T 2 = 2,1 · 10
13 m
3 · s
−2 . Le bolide observé
par les voyageurs ne peut donc être un satellite de la Terre en orbite circulaire.
Exercice 15.7
1. #» p avant = ma #» v a + mL #» v L = (−mava + mLvL) #» ux.
2. La Lune « absorbe » l’astéroïde : sa quantité de mouvement après l’impact est ainsi :
#» p après = (ma + mL)
#»
v
L = ma #» v a + mL #» v L. On obtient donc
#»
v
L =
−mava + mLvL
ma + mL
#» ux.
La Lune avant l’impact est sur une trajectoire circulaire, dont nous connaissons le rayon et la période.
Nous avons donc vL =
2π
T
RL = 1,0 km · s
−1 , d’où v
L = 9,4 · 10
2 m · s
−1 .
3. L’énergie mécanique se conservera sur la nouvelle trajectoire, nous pouvons donc écrire :
Em =
1
2
(mL + ma)v
L
2 −
GMT (mL + ma)
RL
= −
GMT (mL + ma)
2a
.
Nous en déduisons ainsi a =
RLGMT
2GMT − RLv
L
2
= 3,3 · 10
5 km. La nouvelle période de révolution sera,
d’après la loi de Kepler : T
= 2π
a
3
GMT
22 jours : cette variation est donc relativement importante
par rapport à l’ajout de masse inférieur à 1 % de la masse de la Lune et ne serait pas sans conséquence
sur le climat terrestre !
partagelivrescpge.blogspot.com
Champ de force centrale
Exercice 15.6
1. Troisième loi de Kepler : le rapport
a
3
T 2 avec T période de révolution et a demi-grand axe de l’ellipse
est une constante pour tous les corps subissant l’attraction gravitationnelle d’une même planète ou
d’une même étoile.
Ici, la planète concernée est la Terre. Le satellite étant en orbite circulaire de rayon R autour du
centre T de la Terre, on peut lui associer une base polaire ( #» ur, #» u θ ), et son accélération dans le référentiel
géocentrique galiléen est donnée par #» a = −R ˙
θ
2 #» ur +R ¨
θ #» u θ . Il est soumis à la force d’attraction terrestre
#»
F = −
GmT m
R 2
#» ur. L’application de la loi de la quantité de mouvement à ce satellite s’écrit m #» a =
#»
F ;
ce qui conduit par projection à : ¨
θ = 0, soit ˙
θ = cste = ω et Rω
2 =
GmT
R 2 , soit ω
2 R
3 = GmT =
4π
2 R
3
T 2 ,
et par conséquent
R
3
T 2 =
GmT
4π 2 .
2. On fait l’application numérique pour la constante :
GmT
4π 2 = 1,0 · 10
13 m
3 · s
−2 . D’après les données du
texte, R = 14,511 · 10
3 km et T = 12 · 10
3 s. On calcule alors
R
3
T 2 = 2,1 · 10
13 m
3 · s
−2 . Le bolide observé
par les voyageurs ne peut donc être un satellite de la Terre en orbite circulaire.
Exercice 15.7
1. #» p avant = ma #» v a + mL #» v L = (−mava + mLvL) #» ux.
2. La Lune « absorbe » l’astéroïde : sa quantité de mouvement après l’impact est ainsi :
#» p après = (ma + mL)
#»
v
L = ma #» v a + mL #» v L. On obtient donc
#»
v
L =
−mava + mLvL
ma + mL
#» ux.
La Lune avant l’impact est sur une trajectoire circulaire, dont nous connaissons le rayon et la période.
Nous avons donc vL =
2π
T
RL = 1,0 km · s
−1 , d’où v
L = 9,4 · 10
2 m · s
−1 .
3. L’énergie mécanique se conservera sur la nouvelle trajectoire, nous pouvons donc écrire :
Em =
1
2
(mL + ma)v
L
2 −
GMT (mL + ma)
RL
= −
GMT (mL + ma)
2a
.
Nous en déduisons ainsi a =
RLGMT
2GMT − RLv
L
2
= 3,3 · 10
5 km. La nouvelle période de révolution sera,
d’après la loi de Kepler : T
= 2π
a
3
GMT
22 jours : cette variation est donc relativement importante
par rapport à l’ajout de masse inférieur à 1 % de la masse de la Lune et ne serait pas sans conséquence
sur le climat terrestre !
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