Corrections 421
d. La durée du transfert de A à P correspond à la moitié de la période T
du satellite sur sa trajectoire
de transfert, laquelle est donnée par la troisième loi de Kepler : T
2 =
4π
2
GMT
(Rg +h/2)
3 . On obtient
ainsi T
/2 = 12 h1 min47 s
Exercice 15.3
1. On note rP le rayon du périgée, rA celui de l’apogée. a = (rA + rP )/2 = 60,5 · 10
3 km.
2. On applique la troisième loi de Kepler :
a
3
T 2 =
MT G
4π 2 , soit T = 2π
a
3
MT G
= 41 h3 min.
3. Em = −
MT Gm
2a
= −13 GJ.
4. L’énergie mécanique se conservant et l’énergie potentielle d’XMM en P étant Ep(P ) = −
MT Gm
rP
, il
vient : Em = −
MT Gm
2a
=
1
2
mv
2
P −
MT Gm
rP
, soit vP =
2MT G
rA
rP (rP + rA)
= 10 km · s
−1 . Par le
même raisonnement, vA =
2MT G
rP
rA(rP + rA)
= 0,64 km · s
−1 .
Exercice 15.4
1. En appliquant la loi de la quantité de mouvement à l’objet, et en la projetant sur le vecteur polaire #» ur,
on obtient m
v
2
s
R
= m
Gm
R 2 , soit vs =
Gm
R
= 0,021 m · s
−1 .
2. La vitesse de libération correspond au cas particulier de la trajectoire parabolique, pour laquelle l’énergie mécanique est nulle. On aura donc 0 =
1
2
m
v
2
l − m
Gm
R
, soit v l =
2Gm
R
= 0,030 m · s
−1 : il faut
donc aller à la vitesse d’un escargot si on ne veut pas être libéré sur la planète du Petit Prince ! ! !
3. En reprenant les mêmes expressions sur la Terre, on obtient vs = 7,9 km · s
−1 et v l = 11 km · s
−1 .
Exercice 15.5
1. Il s’agit de la trajectoire 2 ; en effet, nous constatons qu’en prenant par exemple comme référence des
angles l’axe OA2, l’angle θ repérant la position du point commence par croître, puis décroit ce qui
correspond à un changement de signe de ˙
θ incompatible avec la loi des aires.
2. Trajectoire 1 : attractif. Trajectoire 3 : répulsif.
Trajectoire 4 : attractif.
3. Trajectoire 1 : associée à la courbe (b).
Trajectoire 3 : associé à la courbe (c).
Trajectoire 4 : associé à la courbe (a).
4. Voilà les énergies mécaniques (traits horizontaux)
correspondant aux trajectoires ci-dessus.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
d. La durée du transfert de A à P correspond à la moitié de la période T
du satellite sur sa trajectoire
de transfert, laquelle est donnée par la troisième loi de Kepler : T
2 =
4π
2
GMT
(Rg +h/2)
3 . On obtient
ainsi T
/2 = 12 h1 min47 s
Exercice 15.3
1. On note rP le rayon du périgée, rA celui de l’apogée. a = (rA + rP )/2 = 60,5 · 10
3 km.
2. On applique la troisième loi de Kepler :
a
3
T 2 =
MT G
4π 2 , soit T = 2π
a
3
MT G
= 41 h3 min.
3. Em = −
MT Gm
2a
= −13 GJ.
4. L’énergie mécanique se conservant et l’énergie potentielle d’XMM en P étant Ep(P ) = −
MT Gm
rP
, il
vient : Em = −
MT Gm
2a
=
1
2
mv
2
P −
MT Gm
rP
, soit vP =
2MT G
rA
rP (rP + rA)
= 10 km · s
−1 . Par le
même raisonnement, vA =
2MT G
rP
rA(rP + rA)
= 0,64 km · s
−1 .
Exercice 15.4
1. En appliquant la loi de la quantité de mouvement à l’objet, et en la projetant sur le vecteur polaire #» ur,
on obtient m
v
2
s
R
= m
Gm
R 2 , soit vs =
Gm
R
= 0,021 m · s
−1 .
2. La vitesse de libération correspond au cas particulier de la trajectoire parabolique, pour laquelle l’énergie mécanique est nulle. On aura donc 0 =
1
2
m
v
2
l − m
Gm
R
, soit v l =
2Gm
R
= 0,030 m · s
−1 : il faut
donc aller à la vitesse d’un escargot si on ne veut pas être libéré sur la planète du Petit Prince ! ! !
3. En reprenant les mêmes expressions sur la Terre, on obtient vs = 7,9 km · s
−1 et v l = 11 km · s
−1 .
Exercice 15.5
1. Il s’agit de la trajectoire 2 ; en effet, nous constatons qu’en prenant par exemple comme référence des
angles l’axe OA2, l’angle θ repérant la position du point commence par croître, puis décroit ce qui
correspond à un changement de signe de ˙
θ incompatible avec la loi des aires.
2. Trajectoire 1 : attractif. Trajectoire 3 : répulsif.
Trajectoire 4 : attractif.
3. Trajectoire 1 : associée à la courbe (b).
Trajectoire 3 : associé à la courbe (c).
Trajectoire 4 : associé à la courbe (a).
4. Voilà les énergies mécaniques (traits horizontaux)
correspondant aux trajectoires ci-dessus.
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