L’essentiel du cours 409
5 Étude des satellites terrestres
L’étude du mouvement d’un satellite terrestre peut être menée dans le référentiel géocentrique R g ,
supposé galiléen, auquel on associe le repère cartésien (O, #» u x , #» u y , #» u z ). Le point O est confondu avec
le centre de masse de la Terre et les 3 axes (Ox), (Oy) et (Oz) sont dirigés vers 3 étoiles lointaines
supposées fixes.
Si on ne tient compte que de l’attraction gravitationnelle de la Terre sur le satellite, le mouvement
du centre de masse G de celui-ci s’apparente au mouvement d’un point matériel de masse m soumis
à la force centrale conservative
#»
F = −
Gmm t
r 2
#» u r où m t est la masse de la Terre.
Son étude est identique à celle du mouvement d’un corps céleste soumis à l’attraction solaire.
En particulier dans le cas d’un satellite placé sur une orbite circulaire de rayon R nous
pouvons reprendre les résultats précédents :
• le centre de l’orbite circulaire est confondu avec le centre de la Terre et le mouvement
circulaire est uniforme ;
• la constante des aires du satellite est C = R
2 ˙
θ = Rv ;
• la vitesse du satellite est liée au rayon de son orbite par la relation : v =
Gm t
R
;
• l’énergie mécanique du satellite est constante et vaut E m = −
Gmm t
2R
;
• la période de révolution du satellite autour de la Terre est T =
4π
2
Gm t
R 3 .
Quelle vitesse doit-on communiquer à un satellite pour le placer sur une orbite
circulaire basse ?
Une orbite basse est une orbite dont l’altitude h est faible, comme celle par exemple de la station
spatiale internationale qui est égale à 3,5 · 10
2 km.
Nous savons que la vitesse d’un satellite placé sur une orbite circulaire de rayon R vaut v =
Gm t
R
.
Lorsque h est suffisamment faible devant le rayon R t de la Terre (R t 6,4 · 10
3 km), nous pouvons
poser R = R t + h R t . Nous en déduisons la vitesse recherchée :
v 1 =
Gm t
R t
Cette vitesse porte le nom de 1
re vitesse cosmique ou de vitesse en orbite basse. Elle vaut
v = 7,9 km · s
−1 (avec G = 6,67 · 10
−11 m
3
· kg
−1
· s
−2 , m t = 6,0 · 10
24 kg et R t = 6,4 · 10
3 km).
Quelle vitesse minimale doit-on communiquer à un satellite au niveau de la surface
terrestre pour qu’il puisse échapper au champ gravitationnel terrestre ?
Pour échapper au champ gravitationnel terrestre le satellite doit être placé dans un état de diffusion.
Il faut donc que son énergie mécanique satisfasse à la condition E m ≥ 0. Or au niveau de la surface
terrestre l’énergie mécanique du satellite a pour expression : E m =
1
2
mv
2
−
Gm t
R t
. Ainsi la vitesse
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
5 Étude des satellites terrestres
L’étude du mouvement d’un satellite terrestre peut être menée dans le référentiel géocentrique R g ,
supposé galiléen, auquel on associe le repère cartésien (O, #» u x , #» u y , #» u z ). Le point O est confondu avec
le centre de masse de la Terre et les 3 axes (Ox), (Oy) et (Oz) sont dirigés vers 3 étoiles lointaines
supposées fixes.
Si on ne tient compte que de l’attraction gravitationnelle de la Terre sur le satellite, le mouvement
du centre de masse G de celui-ci s’apparente au mouvement d’un point matériel de masse m soumis
à la force centrale conservative
#»
F = −
Gmm t
r 2
#» u r où m t est la masse de la Terre.
Son étude est identique à celle du mouvement d’un corps céleste soumis à l’attraction solaire.
En particulier dans le cas d’un satellite placé sur une orbite circulaire de rayon R nous
pouvons reprendre les résultats précédents :
• le centre de l’orbite circulaire est confondu avec le centre de la Terre et le mouvement
circulaire est uniforme ;
• la constante des aires du satellite est C = R
2 ˙
θ = Rv ;
• la vitesse du satellite est liée au rayon de son orbite par la relation : v =
Gm t
R
;
• l’énergie mécanique du satellite est constante et vaut E m = −
Gmm t
2R
;
• la période de révolution du satellite autour de la Terre est T =
4π
2
Gm t
R 3 .
Quelle vitesse doit-on communiquer à un satellite pour le placer sur une orbite
circulaire basse ?
Une orbite basse est une orbite dont l’altitude h est faible, comme celle par exemple de la station
spatiale internationale qui est égale à 3,5 · 10
2 km.
Nous savons que la vitesse d’un satellite placé sur une orbite circulaire de rayon R vaut v =
Gm t
R
.
Lorsque h est suffisamment faible devant le rayon R t de la Terre (R t 6,4 · 10
3 km), nous pouvons
poser R = R t + h R t . Nous en déduisons la vitesse recherchée :
v 1 =
Gm t
R t
Cette vitesse porte le nom de 1
re vitesse cosmique ou de vitesse en orbite basse. Elle vaut
v = 7,9 km · s
−1 (avec G = 6,67 · 10
−11 m
3
· kg
−1
· s
−2 , m t = 6,0 · 10
24 kg et R t = 6,4 · 10
3 km).
Quelle vitesse minimale doit-on communiquer à un satellite au niveau de la surface
terrestre pour qu’il puisse échapper au champ gravitationnel terrestre ?
Pour échapper au champ gravitationnel terrestre le satellite doit être placé dans un état de diffusion.
Il faut donc que son énergie mécanique satisfasse à la condition E m ≥ 0. Or au niveau de la surface
terrestre l’énergie mécanique du satellite a pour expression : E m =
1
2
mv
2
−
Gm t
R t
. Ainsi la vitesse
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