408 Chapitre 15
Champ de force centrale
Quelle est l’expression de la période de révolution du système ?
Une démonstration hors programme permet d’établir l’expression :
(15.5)
T
2
a 3 =
4π
2
Gm s
Nous pouvons constater une analogie avec l’expression 15.3 de la période d’un mouvement circulaire
dans laquelle il suffit de remplacer le rayon r 1 du cercle par le demi-grand axe a de l’ellipse.
• Détermination de l’expression de l’énergie mécanique du système.
Traduire la conservation de E m à l’apogée et au périgée. En déduire une équation du
second degré satisfaite par r min et r max puis de la somme des racines de cette équation
extraire la relation entre E m et le demi-grand axe a.
• Détermination de l’expression de la vitesse du système.
E m étant exprimée en fonction du demi-grand axe de l’ellipse, exploiter sa conservation
pour en déduire l’expression de v en un point quelconque de la trajectoire.
• Détermination de l’expression de la période de révolution du système.
Procéder par analogie en remplaçant, dans l’expression de la période d’un mouvement
circulaire, le rayon du cercle par le demi-grand axe a de l’ellipse.
Méthode 15.3 : Étude d’une trajectoire elliptique
Exercice (15.3)
Les résultats que nous venons d’établir concernant les trajectoires circulaires et elliptiques illustrent
les trois lois régissant le mouvement des planètes autour du Soleil. Kepler les énonça vers 1610 à
partir d’observations astronomiques réalisées par Nicolas Copernic et Tycho Brahé.
• 1
re loi : loi de la trajectoire.
Chaque planète décrit, selon un mouvement périodique dans le sens direct, une trajectoire elliptique dont le Soleil occupe l’un des foyers.
• 2
e loi : loi des aires.
L’aire balayée par le rayon vecteur Soleil-planète est proportionnelle au temps mis pour
la parcourir.
• 3
e loi : loi de la période.
Le rapport
T
2
a 3 du carré de la période de révolution T au cube du demi-grand axe a de
l’ellipse trajectoire a même valeur pour toutes les planètes du système solaire.
Les lois de Kepler
C’est en s’appuyant sur ces lois déduites de l’observation que Newton fut conduit, vers
1687, à énoncer la loi de la gravitation universelle.
partagelivrescpge.blogspot.com
Champ de force centrale
Quelle est l’expression de la période de révolution du système ?
Une démonstration hors programme permet d’établir l’expression :
(15.5)
T
2
a 3 =
4π
2
Gm s
Nous pouvons constater une analogie avec l’expression 15.3 de la période d’un mouvement circulaire
dans laquelle il suffit de remplacer le rayon r 1 du cercle par le demi-grand axe a de l’ellipse.
• Détermination de l’expression de l’énergie mécanique du système.
Traduire la conservation de E m à l’apogée et au périgée. En déduire une équation du
second degré satisfaite par r min et r max puis de la somme des racines de cette équation
extraire la relation entre E m et le demi-grand axe a.
• Détermination de l’expression de la vitesse du système.
E m étant exprimée en fonction du demi-grand axe de l’ellipse, exploiter sa conservation
pour en déduire l’expression de v en un point quelconque de la trajectoire.
• Détermination de l’expression de la période de révolution du système.
Procéder par analogie en remplaçant, dans l’expression de la période d’un mouvement
circulaire, le rayon du cercle par le demi-grand axe a de l’ellipse.
Méthode 15.3 : Étude d’une trajectoire elliptique
Exercice (15.3)
Les résultats que nous venons d’établir concernant les trajectoires circulaires et elliptiques illustrent
les trois lois régissant le mouvement des planètes autour du Soleil. Kepler les énonça vers 1610 à
partir d’observations astronomiques réalisées par Nicolas Copernic et Tycho Brahé.
• 1
re loi : loi de la trajectoire.
Chaque planète décrit, selon un mouvement périodique dans le sens direct, une trajectoire elliptique dont le Soleil occupe l’un des foyers.
• 2
e loi : loi des aires.
L’aire balayée par le rayon vecteur Soleil-planète est proportionnelle au temps mis pour
la parcourir.
• 3
e loi : loi de la période.
Le rapport
T
2
a 3 du carré de la période de révolution T au cube du demi-grand axe a de
l’ellipse trajectoire a même valeur pour toutes les planètes du système solaire.
Les lois de Kepler
C’est en s’appuyant sur ces lois déduites de l’observation que Newton fut conduit, vers
1687, à énoncer la loi de la gravitation universelle.
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