L’essentiel du cours 407
Ce qu’il faut savoir pour commencer.
• On peut montrer (démonstration hors programme) que le Soleil, placé en O, occupe l’un
des deux foyers de l’ellipse.
• r min et r max étant les valeurs de r au périhélie P
et à l’aphélie A, le demi-grand axe a de l’ellipse
est défini par : r min + r max = 2a.
• Propriété géométrique d’une ellipse :
F ≡ O et F
étant les foyers et a le demi-grand
axe, tout point M de l’ellipse satisfait à la relation F M + F
M = 2a.
x
y
O
F
M
•
θ
r
#» v
#» v min
#» v max
F
2a
r min
r max
•
P
•
A
Figure 15.9. Trajectoire elliptique.
Quelle est l’expression de l’énergie mécanique du système ?
Reprenons l’expression 15.1 de l’énergie mécanique d’un système dans un champ à force centrale
conservatif : E m =
1
2
m ˙
r
2 +
1
2
m
C
2
r 2 + E p (r).
Avec E p (r) = −
Gmm s
r
nous obtenons : E m =
1
2
m ˙
r
2 +
1
2
m
C
2
r 2 −
Gmm s
r
.
En A et P , ˙
r = 0 et donc E m =
1
2
m
C
2
r 2 −
Gmm s
r
. Ainsi r min et r max sont solutions de l’équation
E m r
2 + Gmm s r −
1
2
mC
2 = 0 et satisfont à la relation r min + r max = 2a = −
Gmm s
E m
. D’où :
(15.4)
E m = −
Gmm s
2a
Cette expression 15.4 généralise au cas d’un mouvement elliptique le résultat 15.2
concernant un mouvement circulaire, pour lequel r 1 = a.
Quelle est l’expression de la vitesse v du système ?
L’énergie mécanique du système a pour expression : E m =
1
2
mv
2
−
Gmm s
r
= −
Gmm s
2a
.
Nous pouvons en déduire que v, la norme du vecteur vitesse, s’écrit : v =
Gm s
2
r
−
1
a
.
• Au plus près du Soleil, en P , cette vitesse est maximale, au plus loin, en A, elle
est minimale. Ceci est en accord avec la loi des aires.
• En A et P , ˙
r = 0. Le vecteur vitesse a donc pour expression en ces points
#» v = ˙
r #» u r + r ˙
θ #» u θ = r ˙
θ #» u θ . Au niveau de la constante des aires cela se traduit
par C = r
2 ˙
θ = r min v P = r max v A . Nous en déduisons :
v P
v A
=
r max
r min
.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Ce qu’il faut savoir pour commencer.
• On peut montrer (démonstration hors programme) que le Soleil, placé en O, occupe l’un
des deux foyers de l’ellipse.
• r min et r max étant les valeurs de r au périhélie P
et à l’aphélie A, le demi-grand axe a de l’ellipse
est défini par : r min + r max = 2a.
• Propriété géométrique d’une ellipse :
F ≡ O et F
étant les foyers et a le demi-grand
axe, tout point M de l’ellipse satisfait à la relation F M + F
M = 2a.
x
y
O
F
M
•
θ
r
#» v
#» v min
#» v max
F
2a
r min
r max
•
P
•
A
Figure 15.9. Trajectoire elliptique.
Quelle est l’expression de l’énergie mécanique du système ?
Reprenons l’expression 15.1 de l’énergie mécanique d’un système dans un champ à force centrale
conservatif : E m =
1
2
m ˙
r
2 +
1
2
m
C
2
r 2 + E p (r).
Avec E p (r) = −
Gmm s
r
nous obtenons : E m =
1
2
m ˙
r
2 +
1
2
m
C
2
r 2 −
Gmm s
r
.
En A et P , ˙
r = 0 et donc E m =
1
2
m
C
2
r 2 −
Gmm s
r
. Ainsi r min et r max sont solutions de l’équation
E m r
2 + Gmm s r −
1
2
mC
2 = 0 et satisfont à la relation r min + r max = 2a = −
Gmm s
E m
. D’où :
(15.4)
E m = −
Gmm s
2a
Cette expression 15.4 généralise au cas d’un mouvement elliptique le résultat 15.2
concernant un mouvement circulaire, pour lequel r 1 = a.
Quelle est l’expression de la vitesse v du système ?
L’énergie mécanique du système a pour expression : E m =
1
2
mv
2
−
Gmm s
r
= −
Gmm s
2a
.
Nous pouvons en déduire que v, la norme du vecteur vitesse, s’écrit : v =
Gm s
2
r
−
1
a
.
• Au plus près du Soleil, en P , cette vitesse est maximale, au plus loin, en A, elle
est minimale. Ceci est en accord avec la loi des aires.
• En A et P , ˙
r = 0. Le vecteur vitesse a donc pour expression en ces points
#» v = ˙
r #» u r + r ˙
θ #» u θ = r ˙
θ #» u θ . Au niveau de la constante des aires cela se traduit
par C = r
2 ˙
θ = r min v P = r max v A . Nous en déduisons :
v P
v A
=
r max
r min
.
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