406 Chapitre 15
Champ de force centrale
Quelle est l’expression de l’énergie mécanique du système ?
La définition de l’énergie mécanique et l’expression précédente de la vitesse conduisent à :
(15.2)
E m = E c + E p =
1
2
mv
2
−
Gmm s
r 1
=
1
2
m
Gm s
r 1
−
Gmm s
r 1
= −
Gmm s
2r 1
L’énergie mécanique est négative, ce qui correspond bien à un état lié.
Quelle est l’expression de la période de révolution du système ?
Le mouvement étant circulaire uniforme, la période T est la durée mise par le système pour faire
un tour complet à la vitesse v : T =
2πr 1
v
. Avec v =
Gm s
r 1
, nous obtenons :
(15.3)
T =
4π
2
Gm s
r 3
1
Nous pouvons en déduire
T
2
r 3
1
=
4π
2
Gm s
et remarquer que le rapport
T
2
r 3 ne dépend que
de la masse du centre attracteur. Nous en concluons que pour tout corps céleste en
mouvement circulaire de rayon r autour du Soleil :
T
2
r 3 = cste.
• Détermination de l’expression de la vitesse du système.
Appliquer la loi de la quantité de mouvement en utilisant les coordonnées polaires et
projeter l’équation du mouvement sur le vecteur unitaire #» u r .
• Détermination de l’expression de l’énergie mécanique du système.
Exprimer E m sous la forme E m = E c + E p et remplacer la vitesse v par l’expression
obtenue précédemment.
• Détermination de la période de révolution du système.
T =
2πr 1
v
. Réutiliser ensuite l’expression précédente de la vitesse.
Méthode 15.2 : Étude d’une trajectoire circulaire
Exercice (15.2)
Étude du cas particulier d’une trajectoire elliptique
Nous nous proposons maintenant de reprendre l’étude précédente réalisée pour une trajectoire
circulaire, dans le cadre plus général d’une trajectoire elliptique de demi grand-axe a.
Certaines méthodes nécessaires à cette étude étant hors programme, nous ne pourrons
toutefois pas établir tous les résultats.
partagelivrescpge.blogspot.com
Champ de force centrale
Quelle est l’expression de l’énergie mécanique du système ?
La définition de l’énergie mécanique et l’expression précédente de la vitesse conduisent à :
(15.2)
E m = E c + E p =
1
2
mv
2
−
Gmm s
r 1
=
1
2
m
Gm s
r 1
−
Gmm s
r 1
= −
Gmm s
2r 1
L’énergie mécanique est négative, ce qui correspond bien à un état lié.
Quelle est l’expression de la période de révolution du système ?
Le mouvement étant circulaire uniforme, la période T est la durée mise par le système pour faire
un tour complet à la vitesse v : T =
2πr 1
v
. Avec v =
Gm s
r 1
, nous obtenons :
(15.3)
T =
4π
2
Gm s
r 3
1
Nous pouvons en déduire
T
2
r 3
1
=
4π
2
Gm s
et remarquer que le rapport
T
2
r 3 ne dépend que
de la masse du centre attracteur. Nous en concluons que pour tout corps céleste en
mouvement circulaire de rayon r autour du Soleil :
T
2
r 3 = cste.
• Détermination de l’expression de la vitesse du système.
Appliquer la loi de la quantité de mouvement en utilisant les coordonnées polaires et
projeter l’équation du mouvement sur le vecteur unitaire #» u r .
• Détermination de l’expression de l’énergie mécanique du système.
Exprimer E m sous la forme E m = E c + E p et remplacer la vitesse v par l’expression
obtenue précédemment.
• Détermination de la période de révolution du système.
T =
2πr 1
v
. Réutiliser ensuite l’expression précédente de la vitesse.
Méthode 15.2 : Étude d’une trajectoire circulaire
Exercice (15.2)
Étude du cas particulier d’une trajectoire elliptique
Nous nous proposons maintenant de reprendre l’étude précédente réalisée pour une trajectoire
circulaire, dans le cadre plus général d’une trajectoire elliptique de demi grand-axe a.
Certaines méthodes nécessaires à cette étude étant hors programme, nous ne pourrons
toutefois pas établir tous les résultats.
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