L’essentiel du cours 405
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X (UA)
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Y (UA)
M
V
T
Ma
16/11/2016
Figure 15.7. Planètes internes.
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0
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X (UA)
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Y (UA)
J
S
U
N
1P P/Halley
Figure 15.8. Planètes externes et
comète Halley.
Pour certaines planètes comme par exemple la Terre, nous pouvons remarquer que les trajectoires
sont quasi-circulaires autour du Soleil. Cela signifie que l’énergie mécanique de ces planètes est très
proche de leur énergie potentielle effective minimale. Pour les autres, comme par exemple Mars
et encore plus pour Mercure, nous pouvons noter que les trajectoires ne sont plus circulaires mais
elliptiques. La trajectoire de la comète de Halley est une ellipse très excentrée.
Toutes ces trajectoires correspondent aux états liés décrits précédemment et correspondent à des
cas où l’énergie mécanique du système est négative.
Étude du cas particulier de la trajectoire circulaire
En notant r 1 le rayon de la trajectoire, la force gravitationnelle exercée par le Soleil est de la forme :
#»
F = −
Gmm s
r 2
1
#» u r et l’énergie potentielle gravitationnelle du corps céleste : E p (r) = −
Gmm s
r 1
.
Quelle est l’expression de la vitesse du système ?
La loi de la quantité de mouvement appliquée au corps céleste dans le référentiel héliocentrique
supposé galiléen conduit à :
m #» a = m(r 1 ¨
θ #» u θ − r 1 ˙
θ
2 #» u r ) = −
Gmm s
r 2
1
#» u r
Sur #» u θ : mr 1 ¨
θ = 0, soit ˙
θ = cste. Nous retrouvons le caractère uniforme du mouvement circulaire.
Sur #» u r : −mr 1 ˙
θ
2 = −
Gmm s
r 2
1
. Or #» v = v #» u θ = r 1 ˙
θ #» u θ donc r 1 ˙
θ
2 =
v
2
r 1
. Nous en déduisons
v
2
r 1
=
Gm s
r 2
1
. D’où : v =
Gm s
r 1
.
La vitesse v est fonction de r 1 . Plus r 1 est grand et plus la vitesse v est faible.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
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Figure 15.8. Planètes externes et
comète Halley.
Pour certaines planètes comme par exemple la Terre, nous pouvons remarquer que les trajectoires
sont quasi-circulaires autour du Soleil. Cela signifie que l’énergie mécanique de ces planètes est très
proche de leur énergie potentielle effective minimale. Pour les autres, comme par exemple Mars
et encore plus pour Mercure, nous pouvons noter que les trajectoires ne sont plus circulaires mais
elliptiques. La trajectoire de la comète de Halley est une ellipse très excentrée.
Toutes ces trajectoires correspondent aux états liés décrits précédemment et correspondent à des
cas où l’énergie mécanique du système est négative.
Étude du cas particulier de la trajectoire circulaire
En notant r 1 le rayon de la trajectoire, la force gravitationnelle exercée par le Soleil est de la forme :
#»
F = −
Gmm s
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#» u r et l’énergie potentielle gravitationnelle du corps céleste : E p (r) = −
Gmm s
r 1
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Quelle est l’expression de la vitesse du système ?
La loi de la quantité de mouvement appliquée au corps céleste dans le référentiel héliocentrique
supposé galiléen conduit à :
m #» a = m(r 1 ¨
θ #» u θ − r 1 ˙
θ
2 #» u r ) = −
Gmm s
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#» u r
Sur #» u θ : mr 1 ¨
θ = 0, soit ˙
θ = cste. Nous retrouvons le caractère uniforme du mouvement circulaire.
Sur #» u r : −mr 1 ˙
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Gmm s
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θ #» u θ donc r 1 ˙
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v
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Gm s
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. D’où : v =
Gm s
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La vitesse v est fonction de r 1 . Plus r 1 est grand et plus la vitesse v est faible.
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