L’essentiel du cours 403
4 Champ newtonien
Un champ de force newtonien est un champ de force centrale de la forme :
#»
F = −k
# »
OM
# »
OM 3
= −
k
r 2
#» u r où k est une constante
Il est dit attractif lorsque k est positive, et répulsif lorsque k est négative.
Définition : Champ newtonien
Un tel champ dérive d’une énergie potentielle E p définie par F = −
dE p
dr
.
En prenant cette énergie potentielle nulle à l’infini : E p = −
K
r
.
Retour au contexte du système solaire
Étudions le mouvement d’un corps céleste en interaction avec le Soleil dans le référentiel héliocentrique R s , supposé galiléen, auquel on associe le repère cartésien (O, #» u x , #» u y , #» u z ). Le point O
est confondu avec le centre de masse du Soleil et les 3 axes (Ox), (Oy) et (Oz) sont dirigés vers
3 étoiles lointaines supposées fixes.
Le Soleil exerce sur le centre de masse M du corps céleste de masse m une force gravitationnelle
#»
F = −
Gmm s
r 2
#» u r avec
# »
OM = r #» u r . Nous négligerons le mouvement de rotation propre du corps
céleste, s’il en a un, devant le mouvement de son centre de masse autour du Soleil. Cela revient à
assimiler le corps céleste à un point matériel M plongé dans un champ newtonien attractif.
Compte tenu de ce qui précède, nous pouvons affirmer que le mouvement de M est plan et qu’il a
deux constantes : la constante des aires et son énergie mécanique. Nous pouvons écrire :
• La constante des aires : C = r
2 ˙
θ = cste.
• L’énergie mécanique : E m =
1
2
m ˙
r
2 + E p,e (r) = cste.
• L’énergie potentielle effective : E p,e (r) =
1
2
m
C
2
r 2 + E p =
1
2
m
C
2
r 2 −
Gmm s
r
.
Que pouvons-nous déduire de l’étude qualitative du mouvement ?
Nous devons comparer E m à E p,e de façon à déterminer les valeurs accessibles à r, comme cela a
été vu dans la méthode 15.1.
L’étude de la fonction E p,e (r) montre qu’elle tend vers l’infini lorsque r tend vers 0, vers 0 lorsque
r tend vers l’infini et qu’elle admet un minimum pour une valeur de r que nous noterons r 1 .
Nous avons tracé son graphe (figure 15.6), en prenant pour C et m des valeurs numériques correspondant à la Terre (C = 4,46 · 10
15 m
2
· s
−1 et m = 6,0 · 10
24 kg ). Pour tous les corps célestes en
interaction gravitationnelle avec le Soleil, nous trouverions une allure de E p,e similaire, seules les
valeurs numériques changeraient.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
4 Champ newtonien
Un champ de force newtonien est un champ de force centrale de la forme :
#»
F = −k
# »
OM
# »
OM 3
= −
k
r 2
#» u r où k est une constante
Il est dit attractif lorsque k est positive, et répulsif lorsque k est négative.
Définition : Champ newtonien
Un tel champ dérive d’une énergie potentielle E p définie par F = −
dE p
dr
.
En prenant cette énergie potentielle nulle à l’infini : E p = −
K
r
.
Retour au contexte du système solaire
Étudions le mouvement d’un corps céleste en interaction avec le Soleil dans le référentiel héliocentrique R s , supposé galiléen, auquel on associe le repère cartésien (O, #» u x , #» u y , #» u z ). Le point O
est confondu avec le centre de masse du Soleil et les 3 axes (Ox), (Oy) et (Oz) sont dirigés vers
3 étoiles lointaines supposées fixes.
Le Soleil exerce sur le centre de masse M du corps céleste de masse m une force gravitationnelle
#»
F = −
Gmm s
r 2
#» u r avec
# »
OM = r #» u r . Nous négligerons le mouvement de rotation propre du corps
céleste, s’il en a un, devant le mouvement de son centre de masse autour du Soleil. Cela revient à
assimiler le corps céleste à un point matériel M plongé dans un champ newtonien attractif.
Compte tenu de ce qui précède, nous pouvons affirmer que le mouvement de M est plan et qu’il a
deux constantes : la constante des aires et son énergie mécanique. Nous pouvons écrire :
• La constante des aires : C = r
2 ˙
θ = cste.
• L’énergie mécanique : E m =
1
2
m ˙
r
2 + E p,e (r) = cste.
• L’énergie potentielle effective : E p,e (r) =
1
2
m
C
2
r 2 + E p =
1
2
m
C
2
r 2 −
Gmm s
r
.
Que pouvons-nous déduire de l’étude qualitative du mouvement ?
Nous devons comparer E m à E p,e de façon à déterminer les valeurs accessibles à r, comme cela a
été vu dans la méthode 15.1.
L’étude de la fonction E p,e (r) montre qu’elle tend vers l’infini lorsque r tend vers 0, vers 0 lorsque
r tend vers l’infini et qu’elle admet un minimum pour une valeur de r que nous noterons r 1 .
Nous avons tracé son graphe (figure 15.6), en prenant pour C et m des valeurs numériques correspondant à la Terre (C = 4,46 · 10
15 m
2
· s
−1 et m = 6,0 · 10
24 kg ). Pour tous les corps célestes en
interaction gravitationnelle avec le Soleil, nous trouverions une allure de E p,e similaire, seules les
valeurs numériques changeraient.
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