402 Chapitre 15
Champ de force centrale
−0.3
−0.2
−0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
x (m)
−0.3
−0.2
−0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
y (m)
Figure 15.5. Trajectoire du point M .
Ainsi les oscillations de r entre les deux valeurs extrêmes r min et r max s’accompagnent d’un mouvement de rotation autour du centre de force O avec une vitesse angulaire ˙
θ liée à r par la constante
des aires C. Plus le point M est proche du centre de force, plus sa vitesse angulaire est grande,
plus il en est loin, plus elle est faible et cela de sorte que la vitesse aréolaire demeure constante.
Enfin r restant compris entre r min et r max , la trajectoire de M autour de O est bornée par les
cercles de centre O et de rayons r min et r max (figure 15.5). Le point matériel est dans un état lié.
• Calculer les constantes du mouvement C et E m à partir des conditions initiales.
• Déterminer l’expression de l’énergie potentielle effective E p,e (r) du système.
— Exprimer l’énergie mécanique E m à une date quelconque.
— Éliminer ˙
θ dans l’expression de E m en introduisant la constante des aires C.
— Identifier E p,e (r) comme étant la partie de E m dépendant de r .
• Étudier l’énergie potentielle effective en fonction de r et tracer son graphe.
• Comparer E p,e (r) à E m . Les valeurs permises de r sont telles que E p,e (r) ≤ E m .
Méthode 15.1 : Étude qualitative d’un mouvement à force centrale conservatif
Exercice (15.1)
Lorsque r est encadré entre deux valeurs extrêmes, la trajectoire est bornée. La particule se trouve dans un état lié. Lorsque r n’a pas de borne maximale, la trajectoire
n’est pas bornée. La particule se trouve dans un état de diffusion.
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Champ de force centrale
−0.3
−0.2
−0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
x (m)
−0.3
−0.2
−0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
y (m)
Figure 15.5. Trajectoire du point M .
Ainsi les oscillations de r entre les deux valeurs extrêmes r min et r max s’accompagnent d’un mouvement de rotation autour du centre de force O avec une vitesse angulaire ˙
θ liée à r par la constante
des aires C. Plus le point M est proche du centre de force, plus sa vitesse angulaire est grande,
plus il en est loin, plus elle est faible et cela de sorte que la vitesse aréolaire demeure constante.
Enfin r restant compris entre r min et r max , la trajectoire de M autour de O est bornée par les
cercles de centre O et de rayons r min et r max (figure 15.5). Le point matériel est dans un état lié.
• Calculer les constantes du mouvement C et E m à partir des conditions initiales.
• Déterminer l’expression de l’énergie potentielle effective E p,e (r) du système.
— Exprimer l’énergie mécanique E m à une date quelconque.
— Éliminer ˙
θ dans l’expression de E m en introduisant la constante des aires C.
— Identifier E p,e (r) comme étant la partie de E m dépendant de r .
• Étudier l’énergie potentielle effective en fonction de r et tracer son graphe.
• Comparer E p,e (r) à E m . Les valeurs permises de r sont telles que E p,e (r) ≤ E m .
Méthode 15.1 : Étude qualitative d’un mouvement à force centrale conservatif
Exercice (15.1)
Lorsque r est encadré entre deux valeurs extrêmes, la trajectoire est bornée. La particule se trouve dans un état lié. Lorsque r n’a pas de borne maximale, la trajectoire
n’est pas bornée. La particule se trouve dans un état de diffusion.
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