L’essentiel du cours 401
Nous repérons le point M par ses coordonnées polaires (r,θ) et prenons comme conditions initiales,
à t = 0, r(0) = r 0 = 20 cm, θ(0) = θ 0 = 30°, α 0 = 130° et v 0 = 0,50 m · s
−1 (figure 15.3).
Commençons par calculer les constantes du mouvement et l’énergie potentielle effective à t = 0 :
• C = r
2 (0) ˙
θ(0) = r(0)(r(0) ˙
θ(0)) = r 0 (v 0 sin(α 0 )) = 77 · 10
−3 m
2
· s
−1 ;
• E m (0) = E c (0) + E p (0) =
1
2
mv
2
0 +
1
2
k(r 0 − l 0 )
2 = 49 · 10
−3 J ;
• E p,e (0) = E p (0) +
1
2
m
C
2
r 2
0
=
1
2
k(r 0 − l 0 )
2 +
1
2
m
C
2
r 2
0
= 38 · 10
−3 J.
Puis superposons les courbes de l’énergie potentielle effective E p,e (r) =
1
2
k(r − 0 )
2 +
1
2
m
C
2
r 2 et
de l’énergie mécanique E m (figure 15.4).
x
y
O
M
#» v 0
α 0
r 0
θ 0
Figure 15.3. Conditions initiales.
0.05
0.30
r (m)
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
E
p,e et
E
m (J)
r min
r max
E p,e
E m
E p,e (0)
Figure 15.4. Énergie potentielle effective.
Quelle analyse qualitative du mouvement pouvons-nous faire ?
E m =
1
2
m ˙
r
2 + E p,e (r), avec
1
2
m ˙
r
2
≥ 0. Les valeurs accessibles pour r sont donc celles pour
lesquelles E p,e (r) ≤ E m . Elles sont encadrées par deux valeurs r min et r max (figure 15.4).
Une approche numérique nous a permis de tracer la trajectoire du point M (figure 15.5). La position
de départ marquée d’un point noir correspond aux conditions initiales (r 0 , E p,e (0)) portées sur le
diagramme énergétique (figure 15.4).
Avec un angle initial α 0 > 90° on sait que ˙
r(0) < 0. Donc au début du mouvement r diminue.
Comme C = r
2 ˙
θ = cste, on en déduit que la vitesse angulaire ˙
θ augmente : le point M se rapproche
de O en tournant de plus en plus vite dans le sens trigonométrique. Lorsque r = r min , ˙
θ est
maximale. La vitesse de M ne s’annule donc pas pour r = r min . Tout en continuant à tourner dans
le sens trigonométrique, le point M , après être passé au plus près de O, s’en éloigne, r augmentant
de r min jusqu’à r max . Pendant cette phase ˙
θ diminue et devient minimale en r max et ainsi de suite. . .
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Nous repérons le point M par ses coordonnées polaires (r,θ) et prenons comme conditions initiales,
à t = 0, r(0) = r 0 = 20 cm, θ(0) = θ 0 = 30°, α 0 = 130° et v 0 = 0,50 m · s
−1 (figure 15.3).
Commençons par calculer les constantes du mouvement et l’énergie potentielle effective à t = 0 :
• C = r
2 (0) ˙
θ(0) = r(0)(r(0) ˙
θ(0)) = r 0 (v 0 sin(α 0 )) = 77 · 10
−3 m
2
· s
−1 ;
• E m (0) = E c (0) + E p (0) =
1
2
mv
2
0 +
1
2
k(r 0 − l 0 )
2 = 49 · 10
−3 J ;
• E p,e (0) = E p (0) +
1
2
m
C
2
r 2
0
=
1
2
k(r 0 − l 0 )
2 +
1
2
m
C
2
r 2
0
= 38 · 10
−3 J.
Puis superposons les courbes de l’énergie potentielle effective E p,e (r) =
1
2
k(r − 0 )
2 +
1
2
m
C
2
r 2 et
de l’énergie mécanique E m (figure 15.4).
x
y
O
M
#» v 0
α 0
r 0
θ 0
Figure 15.3. Conditions initiales.
0.05
0.30
r (m)
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
E
p,e et
E
m (J)
r min
r max
E p,e
E m
E p,e (0)
Figure 15.4. Énergie potentielle effective.
Quelle analyse qualitative du mouvement pouvons-nous faire ?
E m =
1
2
m ˙
r
2 + E p,e (r), avec
1
2
m ˙
r
2
≥ 0. Les valeurs accessibles pour r sont donc celles pour
lesquelles E p,e (r) ≤ E m . Elles sont encadrées par deux valeurs r min et r max (figure 15.4).
Une approche numérique nous a permis de tracer la trajectoire du point M (figure 15.5). La position
de départ marquée d’un point noir correspond aux conditions initiales (r 0 , E p,e (0)) portées sur le
diagramme énergétique (figure 15.4).
Avec un angle initial α 0 > 90° on sait que ˙
r(0) < 0. Donc au début du mouvement r diminue.
Comme C = r
2 ˙
θ = cste, on en déduit que la vitesse angulaire ˙
θ augmente : le point M se rapproche
de O en tournant de plus en plus vite dans le sens trigonométrique. Lorsque r = r min , ˙
θ est
maximale. La vitesse de M ne s’annule donc pas pour r = r min . Tout en continuant à tourner dans
le sens trigonométrique, le point M , après être passé au plus près de O, s’en éloigne, r augmentant
de r min jusqu’à r max . Pendant cette phase ˙
θ diminue et devient minimale en r max et ainsi de suite. . .
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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