400 Chapitre 15
Champ de force centrale
3 Conservation de l’énergie mécanique
Par hypothèse, la force centrale est la seule force subie par le point matériel. Si cette force est
conservative, alors d’après la loi de l’énergie mécanique, l’énergie mécanique du système est
une constante du mouvement.
Elle a pour expression : E m = E c + E p avec E c =
1
2
mv
2 =
1
2
m ˙
r
2 +
1
2
mr
2 ˙
θ
2 et E p = E p (r). D’où :
E m =
1
2
m ˙
r
2 +
1
2
mr
2 ˙
θ
2 + E p (r)
La constante des aires nous permet de remplacer r
2 ˙
θ
2 par
C
2
r 2 et de mettre E m sous la forme :
(15.1)
E m =
1
2
m ˙
r
2 +
1
2
m
C
2
r 2 + E p (r)
E m apparaît comme fonction uniquement de r et de ˙
r. D’un point de vue énergétique le problème
plan à 2 degrés de liberté, r et θ, se ramène ainsi à un problème à 1 seul degré de liberté, r.
Par ailleurs, nous pouvons définir une fonction, que nous noterons E p,e , appelée énergie potentielle effective qui regroupe les deux termes de l’énergie mécanique fonction de r :
E p,e (r) =
1
2
m
C
2
r 2 + E p (r)
Cela nous permet de mettre l’énergie mécanique du point matériel sous la forme :
E m =
1
2
m ˙
r
2 + E p,e (r)
L’énergie potentielle effective d’un point matériel soumis à une force centrale conservative est
la somme de son énergie cinétique orthoradiale et de son énergie potentielle :
E p,e (r) = E cθ (r) + E p (r) =
1
2
m
C
2
r 2 + E p (r)
Définition : Énergie potentielle effective
L’énergie potentielle effective permet de mener l’étude qualitative du mouvement radial
d’un point matériel soumis à une force centrale conservative comme celle du mouvement
d’un système conservatif à une dimension (voir chapitre 12).
Illustrons cette remarque par un exemple.
Considérons un point matériel M , de masse m = 0,20 kg, relié à un point fixe O par l’intermédiaire
d’un ressort de constante de raideur k = 19 N · m
−1 , de longueur à vide 0 = 15 cm et contraint
à se déplacer dans le plan horizontal (Oxy). En négligeant les frottements nous supposons que la
réaction du plan sur le point matériel est verticale et compense son poids. La résultante des forces
appliquées s’identifie alors à la tension du ressort, qui est une force conservative dont la direction
passe toujours par le point O. C’est bien une force centrale conservative.
partagelivrescpge.blogspot.com
Champ de force centrale
3 Conservation de l’énergie mécanique
Par hypothèse, la force centrale est la seule force subie par le point matériel. Si cette force est
conservative, alors d’après la loi de l’énergie mécanique, l’énergie mécanique du système est
une constante du mouvement.
Elle a pour expression : E m = E c + E p avec E c =
1
2
mv
2 =
1
2
m ˙
r
2 +
1
2
mr
2 ˙
θ
2 et E p = E p (r). D’où :
E m =
1
2
m ˙
r
2 +
1
2
mr
2 ˙
θ
2 + E p (r)
La constante des aires nous permet de remplacer r
2 ˙
θ
2 par
C
2
r 2 et de mettre E m sous la forme :
(15.1)
E m =
1
2
m ˙
r
2 +
1
2
m
C
2
r 2 + E p (r)
E m apparaît comme fonction uniquement de r et de ˙
r. D’un point de vue énergétique le problème
plan à 2 degrés de liberté, r et θ, se ramène ainsi à un problème à 1 seul degré de liberté, r.
Par ailleurs, nous pouvons définir une fonction, que nous noterons E p,e , appelée énergie potentielle effective qui regroupe les deux termes de l’énergie mécanique fonction de r :
E p,e (r) =
1
2
m
C
2
r 2 + E p (r)
Cela nous permet de mettre l’énergie mécanique du point matériel sous la forme :
E m =
1
2
m ˙
r
2 + E p,e (r)
L’énergie potentielle effective d’un point matériel soumis à une force centrale conservative est
la somme de son énergie cinétique orthoradiale et de son énergie potentielle :
E p,e (r) = E cθ (r) + E p (r) =
1
2
m
C
2
r 2 + E p (r)
Définition : Énergie potentielle effective
L’énergie potentielle effective permet de mener l’étude qualitative du mouvement radial
d’un point matériel soumis à une force centrale conservative comme celle du mouvement
d’un système conservatif à une dimension (voir chapitre 12).
Illustrons cette remarque par un exemple.
Considérons un point matériel M , de masse m = 0,20 kg, relié à un point fixe O par l’intermédiaire
d’un ressort de constante de raideur k = 19 N · m
−1 , de longueur à vide 0 = 15 cm et contraint
à se déplacer dans le plan horizontal (Oxy). En négligeant les frottements nous supposons que la
réaction du plan sur le point matériel est verticale et compense son poids. La résultante des forces
appliquées s’identifie alors à la tension du ressort, qui est une force conservative dont la direction
passe toujours par le point O. C’est bien une force centrale conservative.
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