L’essentiel du cours 399
Pour un mouvement à force centrale, étudié dans le plan du mouvement en coordonnées
polaires, l’origine étant prise au centre de force, on définit la constante des aires par :
C = r
2 ˙
θ (en m
2
· s
−1 )
C est une constante du mouvement. Sa valeur dépend des conditions initiales.
Définition : Constante des aires
Dans le cas d’une trajectoire circulaire de rayon R : C = R
2 ˙
θ. Nous en déduisons
que ˙
θ est constant et donc que le mouvement circulaire est uniforme.
Quelle interprétation géométrique peut-on donner à la constante des aires ?
Notons S(t) la surface balayée par le vecteur
# »
OM entre la date t = 0 et la date t. Un développement
de Taylor permet d’écrire : S(t + dt) = S(t) +
dS
dt
dt +
1
2
d
2 S
dt 2 (dt)
2 + ◦(dt)
2 .
Soient M (t) et M (t + dt) les positions du point matériel étudié aux dates t et t + dt. Entre ces
deux dates, r varie de dr = r(t + dt) − r(t), θ varie de dθ = θ(t + dt) − θ(t) et le vecteur position
balaye la surface : S(t + dt) − S(t) = δS 1 + δS 2 (figure 15.2).
δS 1 est la surface d’une portion de disque de rayon r et
d’angle au centre dθ. Elle vaut δS 1 = πr
2 dθ
2π
=
1
2
r
2 dθ.
C’est un infiniment petit d’ordre 1.
La surface δS 2 est assimilable en première approximation à un triangle rectangle dont les cotés de l’angle
droit valent dr et rdθ. D’où δS 2
1
2
rdθdr. C’est un
infiniment petit d’ordre 2.
δS 1 correspond donc au terme d’ordre 1 du développement de Taylor. Par identification :
dS
dt
dt =
1
2
r
2 dθ =
1
2
r
2 ˙
θdt
x
y
O
M (t)
r(t)
M (t + dt)
r(t + dt)
θ(t)
dθ
δS 1
δS 2
Figure 15.2. Surface balayée
entre t et t + dt.
Nous pouvons en déduire que la surface balayée par unité de temps vaut
dS
dt
=
1
2
r
2 ˙
θ. Cette
expression porte le nom de vitesse aréolaire. Elle est égale à C/2 et c’est une constante du
mouvement. Elle se mesure en m
2
· s
−1 .
Dans un mouvement à force centrale, la vitesse aréolaire représente la surface balayée par
unité de temps par le rayon vecteur. Elle est égale à la moitié de la constante des aires :
dS
dt
=
1
2
r
2 ˙
θ =
C
2
= cste
Loi des aires
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Pour un mouvement à force centrale, étudié dans le plan du mouvement en coordonnées
polaires, l’origine étant prise au centre de force, on définit la constante des aires par :
C = r
2 ˙
θ (en m
2
· s
−1 )
C est une constante du mouvement. Sa valeur dépend des conditions initiales.
Définition : Constante des aires
Dans le cas d’une trajectoire circulaire de rayon R : C = R
2 ˙
θ. Nous en déduisons
que ˙
θ est constant et donc que le mouvement circulaire est uniforme.
Quelle interprétation géométrique peut-on donner à la constante des aires ?
Notons S(t) la surface balayée par le vecteur
# »
OM entre la date t = 0 et la date t. Un développement
de Taylor permet d’écrire : S(t + dt) = S(t) +
dS
dt
dt +
1
2
d
2 S
dt 2 (dt)
2 + ◦(dt)
2 .
Soient M (t) et M (t + dt) les positions du point matériel étudié aux dates t et t + dt. Entre ces
deux dates, r varie de dr = r(t + dt) − r(t), θ varie de dθ = θ(t + dt) − θ(t) et le vecteur position
balaye la surface : S(t + dt) − S(t) = δS 1 + δS 2 (figure 15.2).
δS 1 est la surface d’une portion de disque de rayon r et
d’angle au centre dθ. Elle vaut δS 1 = πr
2 dθ
2π
=
1
2
r
2 dθ.
C’est un infiniment petit d’ordre 1.
La surface δS 2 est assimilable en première approximation à un triangle rectangle dont les cotés de l’angle
droit valent dr et rdθ. D’où δS 2
1
2
rdθdr. C’est un
infiniment petit d’ordre 2.
δS 1 correspond donc au terme d’ordre 1 du développement de Taylor. Par identification :
dS
dt
dt =
1
2
r
2 dθ =
1
2
r
2 ˙
θdt
x
y
O
M (t)
r(t)
M (t + dt)
r(t + dt)
θ(t)
dθ
δS 1
δS 2
Figure 15.2. Surface balayée
entre t et t + dt.
Nous pouvons en déduire que la surface balayée par unité de temps vaut
dS
dt
=
1
2
r
2 ˙
θ. Cette
expression porte le nom de vitesse aréolaire. Elle est égale à C/2 et c’est une constante du
mouvement. Elle se mesure en m
2
· s
−1 .
Dans un mouvement à force centrale, la vitesse aréolaire représente la surface balayée par
unité de temps par le rayon vecteur. Elle est égale à la moitié de la constante des aires :
dS
dt
=
1
2
r
2 ˙
θ =
C
2
= cste
Loi des aires
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