398 Chapitre 15
Champ de force centrale
Une force centrale conservative et son énergie potentielle ne dépendent que de la première coordonnée sphérique r du point M .
Exemples :
• la force de rappel élastique d’un ressort, de constante de raideur k et de longueur à
vide 0 , reliant M à O :
#»
F = −k(r − 0 ) #» u r et son énergie potentielle élastique :
E p =
1
2
k(r − 0 )
2 + cste ;
• la force gravitationnelle exercée par un point matériel de masse m 0 placé en O sur le point
matériel M de masse m :
#»
F = −
Gm 0 m
r 2
#» u r et son énergie potentielle gravitationnelle :
E p = −
Gm 0 m
r
+ cste ;
• la force électrostatique exercée par une particule ponctuelle de charge q 0 placée en O sur
la particule ponctuelle de charge q située en M :
#»
F =
q 0 q
4πε 0 r 2
#» u r et son énergie potentielle
électrique : E p =
q 0 q
4πε 0 r
+ cste.
2 Conservation du moment cinétique
La loi du moment cinétique appliquée en O au point M , dans le référentiel galiléen R, conduit à :
d
#»
L O
dt
R
=
# »
M O (
#»
F ) =
# »
OM ∧
#»
F = r #» u r ∧ F #» u r =
#»
0
Nous en déduisons que le moment cinétique, calculé au centre de force :
#»
L O =
# »
OM ∧ m #» v
est une constante du mouvement.
Quelle est la conséquence sur le mouvement du point M ?
Compte tenu des propriétés du produit vectoriel,
#»
L O est perpendiculaire à
# »
OM et #» v . Le vecteur
# »
OM est donc à tout instant contenu dans le plan passant par O et perpendiculaire à la direction
constante de
#»
L O . Nous en concluons que le mouvement de M se fait dans le plan contenant
le centre de force O et normal à la direction constante de
#»
L O .
Dans le cas où
#»
L O =
#»
0 alors
# »
OM est colinéaire à #» v à chaque instant. C’est le cas
particulier d’un mouvement rectiligne.
Le mouvement étant plan nous pouvons choisir les axes (Ox) et (Oy) de sorte que le plan (Oxy)
soit le plan du mouvement. Le vecteur #» u z , normal à ce plan, est alors colinéaire à
#»
L O . Dans le
plan (Oxy) nous pouvons utiliser les coordonnées polaires (r, θ) pour repérer le point M .
Dans ces conditions les vecteurs position et vitesse de M s’écrivent respectivement
# »
OM = r #» u r et
#» v = ˙
r #» u r + r ˙
θ #» u θ . L’expression du moment cinétique en O est alors :
#»
L O =
# »
OM ∧ m #» v = r #» u r ∧ m
˙
r #» u r + r ˙
θ #» u θ
= mr
2 ˙
θ #» u z
#»
L O étant constant, nous en déduisons que le terme r
2 ˙
θ est également une constante. Cette constante
porte le nom de constante des aires.
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