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CHAPITRE
Champ de force centrale
L’essentiel du cours
Les planètes du système solaire tournent autour du Soleil sur une trajectoire et avec une période propre à chacune d’elles. Les trois lois de Kepler, déduites historiquement d’observations
astronomiques, permettent de décrire leurs mouvements.
Comment la théorie de la mécanique newtonienne justifie-t-elle ces lois empiriques ? Ces lois
sont-elles transposables aux satellites terrestres et aux autres corps célestes ?
Contexte
Le référentiel d’étude sera galiléen et noté R. Nous lui associerons le repère cartésien (O, #» u x , #» u y , #» u z ).
1 Point matériel soumis à une force centrale conservative
Qu’est-ce qu’une force centrale ?
Considérons un point matériel M , défini en coordonnées
sphériques par son vecteur position
# »
OM = r #» u r .
Le point M est soumis de la part du point O à une force
centrale
#»
F si la direction de cette force passe toujours par
ce point O, appelé centre de force.
Exemples :
• une force de rappel élastique rappelant le point M
vers O :
#»
F = −kr #» u r ;
• une force de frottement fluide radiale :
#»
F = −h ˙
r #» u r ;
• une force gravitationnelle :
#»
F = −
Gm 0 m
r 2
#» u r .
#» u y
#» u z
#» u x
O
y
z
x
M
•
•
•
r
#» u r
#»
F
Figure 15.1. Force centrale.
Qu’est-ce qu’une force centrale centrale conservative ?
Le travail élémentaire d’une force centrale
#»
F = F #» u r a pour expression : δW (
#»
F ) = F #» u r ·
#»
dl = F dr.
Cette force est conservative si elle dérive d’une énergie potentielle, définie par δW (
#»
F ) = −dE p .
On en déduit :
F (r) = −
dE p
dr
=⇒ E p (r) = −
F (r)dr + cste
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