396 Chapitre 14
Loi du moment cinétique
Exercice 14.9
1. Le disque, de moment cinétique par rapport à (Oz) J ˙
θ, est soumis à l’action de son poids, qui passe
par l’axe (Oz), et au couple de torsion du fil
#»
Γ = −Cθ #» uz. L’application au disque de la loi du moment
cinétique par rapport à l’axe (Oz) amène à : J0 ¨
θ = −Cθ. C’est l’équation d’un oscillateur harmonique
de pulsation ω0 =
C
J0
et de période T0 = 2π
J0
C
.
2. On reprend la même méthode, avec comme système l’ensemble {disque+surcharge}. Le poids de la
surcharge étant parallèle à (Oz), son moment par rapport à (Oz) est nul et la loi du moment cinétique
à ce système par rapport à l’axe Oz s’écrit : (J0 + J1) ¨
θ = −Cθ. On obtient la nouvelle période des
oscillations : T1 = 2π
J0 + J1
C
.
3. J0 = C
T
2
0
4π 2 et J0 + J1 = C
T
2
1
4π 2 . En faisant la différence entre ces deux équations, on aboutit à
J1 =
C
4π 2 (T
2
1 − T
2
0 ), soit C =
4π
2 J1
T
2
1 − T
2
0
.
4. C = 0,21 N · m · rad
−1 .
Exercice 14.10
1. a. On note (Oz) l’axe vertical ascendant. Chacune des deux sphères étant en mouvement de rotation
de rayon l/2 autour de (Oz) à la même vitesse angulaire ˙
θ et la masse de la tige étant négligée, le
moment cinétique total de l’ensemble {tige+deux sphères} par rapport à (Oz) est LOz =
ml
2
2
˙
θ. Ce
système est soumis à l’action de son poids et de la tension du fil, dont les moments par rapport à
(Gz) sont nuls, et au couple de torsion
#»
Γ = −Cθ #» uz. L’application de la loi du moment cinétique à
ce système par rapport à (Gz) conduit à
ml
2
2
¨
θ = −Cθ, soit ¨
θ +
2C
ml 2 θ = 0. On reconnaît l’équation
d’un oscillateur harmonique de pulsation ω0 =
2C
ml 2 .
b. C =
2π
2 ml
2
T
2
0
= 2,6 · 10
−4 N · m · rad
−1 .
2. On se place dans le système de coordonnées polaires, de base associée ( #» ur, #» u θ , #» uz) pour chacune
des deux sphères, et on estime que la distance entre une des sphères et la boule correspondante est
r −
l
2
sin(θ) ≈ r −
l
2
θ. On néglige aussi l’action de la boule la plus éloignée. On suppose de plus que la
force de gravitation exercée par la boule sur la sphère est portée par #» u θ :
#»
F g =
GM m
r −
l
2
θ
2
#» u θ ≈
GM m
r 2
1 +
l
r
θ
#» u θ . Le moment de cette force par rapport à (Oz) est ainsi
MOz(
#»
F g ) =
GM ml
2r 2
1 +
l
r
θ
, et le moment total par rapport à (Oz) des deux forces gravitationnelles
s’exerçant sur le système {tige+deux sphères} s’écrit MOz =
GM ml
r 2
1 +
l
r
θ
.
On applique alors la loi du moment cinétique par rapport à (Oz) au système :
ml
2
2
¨
θ = −Cθ +
GM ml
r 2
1 +
l
r
θ
. À l’équilibre, on obtient θeq =
GM mlr
Cr 3 − GM ml 2 .
3. θeq = 1,4 · 10
−3 rad : Cavendish avait donc développé une méthode de mesure d’angle avec une précision
inférieure au milliradian.
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